[exo]DM suites et reccurences T°S

[Lao Tseu]

salut tout le monde,
J'aurais besoin de votre aide parce que là je commence sérieusement à avoir du mal.
J'ai U₀=2
V_n=2/U_n et
U_n+1=(U_n+V_n)/2

J'ai donc besoin de vous, pour que m'expliquiez la méthode pour démontrer un majorant et un minorant (respectivement 2 et 1 pour ces suites) par récurrence.
Et comment prouver que U_n est décroissante. Car je n'y arrive pas en passant par une fonction dérivable, je trouve que la dérivée est positive, et donc que U_n est croissante.

Je vous remercie d'avance.
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[Jeanpaul]

Tu peux trouver aisément la relation entre U_(n+1) et U_n, ce V_n ne sert à rien.
Trace la figure de cette fonction et regarde comment évolue U en fonction de n.

[Lao Tseu]

Dsl jeanpaul mais je ne comprends pas bien comment tracer la courbe va m'aider, je sais qu'elle est decroissante et comment elle evolue, mais je ne sais pas de quelle maniere le prouver. Peux tu m'aider?

[Jeanpaul]

La courbe, c'est y = x/2 +1/x, tu as trouvé ça ?
Il faut la couper avec la droite y = x et avec ça, on obtient la limite et on peut aussi porter les diverses valeurs de U_n.
La suite est décroissante et tend vers la limite qui est ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lao Tseu]

Merci Jeanpaul, de ta réponse, mais j'ai fini par trouver par mes propres moyens. Car je devais rendre Mon DM aujourd'hui. La limite approchant de 1.41 elle était de racine carrée de 2. Merci encore