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formes bilinéaires



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    formes bilinéaires


    ------

    bonjour,

    j´ai une question en ce qui concerne les formes bilinéaires symétriques:

    Je lis: Si (e1, e2...en) est une base orthogonale pour Φ,
    alors Φ(x,y) = x1y1q(e1) + x2y2*q(e2)....xnyn*q(en)

    J´en déduis que la matrice de Φ dans toute base orthogonale est non seulement symétrique mais diagonale non?

    me gour-je?

    merci d´avance

    christophe

    -----

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  3. #2
    fderwelt

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    bonjour,

    j´ai une question en ce qui concerne les formes bilinéaires symétriques:

    Je lis: Si (e1, e2...en) est une base orthogonale pour Φ,
    alors Φ(x,y) = x1y1q(e1) + x2y2*q(e2)....xnyn*q(en)

    J´en déduis que la matrice de Φ dans toute base orthogonale est non seulement symétrique mais diagonale non?

    me gour-je?

    merci d´avance

    christophe
    C'est bien ça, puisque les produits scalaires Φ(ei,ej) disparaissent. Mais attention, c'est vrai dans toute base orthogonale relativement à Φ... Ne pas céder à la tentation d'utiliser par exemple la base canonique ("orthogonale" pour le produit scalaire standard)... Encore que dans ce dernier cas, c'est vraiment trop gros, mais on peut se faire piéger dans des cas plus subtilement cachés.

    -- françois

  4. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    et donc, dans une bas orthonormée, on pourrait même écrire:
    Φ(x,y) = x1y1 + x2y2....xnyn?

  5. #4
    fderwelt

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    et donc, dans une bas orthonormée, on pourrait même écrire:
    Φ(x,y) = x1y1 + x2y2....xnyn?
    C'est même la forme canonique. Toute forme quadratique (ou forme bilinéaire, c'est kif) définie positive se met sous cette forme, moyennant un changement de base bien choisi.

    Et si la forme n'est pas définie positive, elle est équivalente à une forme
    Φ(x,y) = x1y1+ ... + xpyp - xp+1yp+1 - ... -xryr
    avec r <= n, et le nombre de signes + et de signes - caractérise la forme.

    -- françois

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    justement je suis en train d´essayer de comprendre le sens de cette signature:

    Si je comprend bien, si ma forme quadratique est definie positive, alors r = n et la signature est (n,0)?

    Mais question bête: Cette signature, a quoi elle sert?

  8. #6
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    j´ai encore une question à ce propos:

    D´après la définition d´un produit scalaire, forme bilinéaire symétrique définie positive, j´en déduis que tout produit scalaire est non dégénéré, puisqu´il n´a qu´un élément isotrope. C´est ça?

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  10. #7
    fderwelt

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    justement je suis en train d´essayer de comprendre le sens de cette signature:

    Si je comprend bien, si ma forme quadratique est definie positive, alors r = n et la signature est (n,0)?
    Farpaitement.

    Mais question bête: Cette signature, a quoi elle sert?
    Réponse bête: à pas grand'chose. C'est juste un invariant, on sait que deux formes quadratiques sont équivalentes si, et seulement si, elles ont même signature (théorème d'inertie de Sylvester). C'est déjà bien...

    Sinon, on connaît plein de choses sur les définies positives (signature (n,0), c'est la géométrie euclidienne classique), un peu moins sur les semi-définies positives (signature (r,0) avec r < n), et quasiment rien sur les autres. Si, un peu quand même sur les (p,q) avec p+q=n, et surtout les (n-1,1).

    -- françois

  11. #8
    fderwelt

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    j´ai encore une question à ce propos:

    D´après la définition d´un produit scalaire, forme bilinéaire symétrique définie positive, j´en déduis que tout produit scalaire est non dégénéré, puisqu´il n´a qu´un élément isotrope. C´est ça?
    Voui. Je suppose que le seul élément isotrope en question, tu veux parler de 0? Parce qu'en général on ne le mentionne même pas.

    -- françois

  12. #9
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par fderwelt
    Réponse bête: à pas grand'chose. C'est juste un invariant, on sait que deux formes quadratiques sont équivalentes si, et seulement si, elles ont même signature (théorème d'inertie de Sylvester). C'est déjà bien..

    Et ça veut quoi au juste, que deux formes quadratiques sont équivalentes?
    Est-ce c´est la même forme dans deux bases différentes ou est-ce ça n´a rien á voir?

  13. #10
    fderwelt

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Et ça veut quoi au juste, que deux formes quadratiques sont équivalentes?
    Est-ce c´est la même forme dans deux bases différentes ou est-ce ça n´a rien á voir?
    C'est ça.

    Ou (mais en option) que c'est deux formes différentes, avec la même expression dans des bases différentes. C'est un peu comme pour les coordonnées d'un vecteur. Un couple (x,y) peut être les coordonnées de deux vecteurs différents dans deux bases différentes. Et un seul et même vecteur a des coordonnées différentes (x,y) et (x',y') dans des bases B et B' différentes.

    -- françois

  14. #11
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    oui mais alors, il faut en conclure que dans un même espace de dimension n, il toutes les formes bilinéaires symétriques définies positives sont équivalentes?!!

    Fichtre!! C´est comme s´il n´y avait qu´une forme bilinéaire symétrique définie positive possible.

  15. #12
    rvz

    Re : formes bilinéaires

    Tout à fait. Tu viens de démontrer le théorème suivant :
    Toute matrice symétrique définie positive est diagonalisable en base orthonormale.

    __
    rvz

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  17. #13
    fderwelt

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    oui mais alors, il faut en conclure que dans un même espace de dimension n, il toutes les formes bilinéaires symétriques définies positives sont équivalentes?!!

    Fichtre!! C´est comme s´il n´y avait qu´une forme bilinéaire symétrique définie positive possible.
    Ce n'est pas "comme si". C'est comme ça. (et pas autrement).

    (pour rvz: je préfère franchement ce genre de formulation... )

    -- françois

  18. #14
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par rvz
    Toute matrice symétrique définie positive est diagonalisable en base orthonormale.
    __
    rvz
    excuse-moi de redemander une précision: Quand tu écris diagonalisable, ça suggère qu´il est possible d´écrire la matrice d´un façon non diagonale. Ne faudrait-il pas plutôt écrire: Toute matrice symétrique définie positive est diagonae en base orthonormale?

  19. #15
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    enfin je voulais dire évidement diagonale, pas diagonae...

  20. #16
    rvz

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    excuse-moi de redemander une précision: Quand tu écris diagonalisable, ça suggère qu´il est possible d´écrire la matrice d´un façon non diagonale. Ne faudrait-il pas plutôt écrire: Toute matrice symétrique définie positive est diagonae en base orthonormale?
    Non. Si tu prends une matrice symétrique définie positive, par exemple A=
    (1 2)
    (2 5)
    Quand je dis définis positive, je veux dire que la forme quadratique associée q(X) = t(X) A X, où t est la transposée satisfait q(X) >0 pour tout vecteur X non nul. Dans ce cas particulier, tu peux voir assez facilement que
    q(X) = (x+2y)^2 + y^2
    Donc, dans la base f1 = 2e1-e2, f2 = e1, cette matrice est diagonale, et cette base est orthonormale pour la forme bilinéaire associée à q.

    __
    rvz

  21. #17
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    ben maintenant que j´y ai réfléchi, désolé, je suis plus tout-à-fait d´accord: Phi(x,y) = 1/2[q(x+y) - q(x) - q(y)].
    Donc rien ne prouve que si phi et q sont définies positives le Ker(phi) = 0e (élément neutre de phi).
    Donc de Phi définie positive, on ne peut conclure qu´elle est non dégénérée.

    ou y a-t-il un truc?

  22. #18
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    j´ai une autre question d´un autre ordre en ce qui concerne les formes quadatiques et bilinéaires:

    je viens de lire un exo dont je ne comprend pas le corrigé.

    Il s´agit d´écrire la matrice d´une forme bilinéaire. Dans le corrigé ils procèdent comme ça:

    q (x, y, z, t) = b*x^2 + b*t^2 - a*y*z + (2b+a)*x*t

    et ils en concluent la matrice dans une base canonique.

    a et b sont des paramétres des formes phi et q, (x, y, z, t) est évidement un élément de R4.

    Ma question est la suivante: y a-t-il un "truc" pour déduire la matrice d´une a forme bilinéaire à partir de la formule de sa forme quadratique associée?
    En tout cas, j´ai eu beau chercher, j´ai pas trouvé de lien directe.

    merci d´avance

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  24. #19
    rvz

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    ben maintenant que j´y ai réfléchi, désolé, je suis plus tout-à-fait d´accord: Phi(x,y) = 1/2[q(x+y) - q(x) - q(y)].
    Donc rien ne prouve que si phi et q sont définies positives le Ker(phi) = 0e (élément neutre de phi).
    Donc de Phi définie positive, on ne peut conclure qu´elle est non dégénérée.

    ou y a-t-il un truc?
    Bon, d'accord, y a peut -être un truc.
    signifie
    Du coup, si est définie positive, pour x dans le noyau de phi, tu peux notamment prendre y = x, et tu obtiens que x = 0. Donc phi est non dégénérée.

    __
    rvz

  25. #20
    rvz

    Re : formes bilinéaires

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Ma question est la suivante: y a-t-il un "truc" pour déduire la matrice d´une a forme bilinéaire à partir de la formule de sa forme quadratique associée?
    En tout cas, j´ai eu beau chercher, j´ai pas trouvé de lien directe.
    Evidemment, j'ai oublié de répondre à un bout de la question.

    Pour faire simple,

    pour les termes carrés, du type , tu mets leur coefficient correspondant a_j dans la case (j,j)

    pour les termes de la forme , avec i et j distincts, tu mets le coefficient correspondant 2a_ij dans la matrice de la façon suivante : dans la case (i,j), tu mets a_ij, dans la case (j,i), tu mets aussi a_ij. (Ca vient de ! )

    Bon, après, si tu te demandes pourquoi on fait comme ça, une réponse possible est : Parce que ça marche ! Et en plus, la matrice est bien symétrique, comme on l'espérait...

    __
    rvz

  26. #21
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    merci, vous êtes des bêtes!! Mais d´où vous sortez ça? Franchement je l´ai lû nul-part, mais ça a l´air de coller exactement avec le corrigé de cet exo.

  27. #22
    rvz

    Re : formes bilinéaires

    Oh tu sais on n'a rien inventé ! Je me suis posé les mêmes questions que toi il y a quelques années, c'est tout.

    Bonne continuation,
    __
    rvz

  28. #23
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    encore une tout petite question, mais vraiment toute petite:

    Cette formule pour la matrice marche aussi même si la forme n´est pas définie positive, c.a.d. pas seulement pour les produits scalaires non?

  29. #24
    rvz

    Re : formes bilinéaires

    Oui, tout à fait.
    Il te suffit de vérifier que ça marche. Tu demandes juste à la forme d'être bilinéaire symétrique
    __
    rvz

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  31. #25
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    dsl, y a encore un truc qui me chiffonne:

    Dans mes bouquins, ils me parlent maintenant de la signature d´une forme quadratique: Je croyais qu´il n´y a que les formes bilinéaires qui ont une signature.

    Mais dîtes moi: je suppose qu´une forme bilinéaire et sa forme quadratique associée ont la même signature non?

    Dîtes oui s´il vous plait, ça me simplifierait la vie

  32. #26
    rvz

    Re : formes bilinéaires

    Oui Oui.
    Une forme bilinéaire est dégénérée ssi sa forme quadraitique associée l'est.
    Les signatures se correspondent aussi.
    Les maths, en général, c'est quand même un tout petit peu cohérent

    __
    rvz

  33. #27
    christophe_de_Berlin

    Re : formes bilinéaires

    encore une précision: Le truc que tu viens d´expliquer: Faut-il qu´on se trouve dans une base orthogonale ou bien ça ne joue aucun rôle?

  34. #28
    GuYem

    Re : formes bilinéaires

    Ca ne joue aucun role, la signature est un invariant, c'est à dire que ça ne dépend de rien d'autre que de la forme (bilinéaire ou quadratique) que tu t'es donnée.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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