bonjour,
j´ai une question en ce qui concerne les formes bilinéaires symétriques:
Je lis: Si (e1, e2...en) est une base orthogonale pour Φ,
alors Φ(x,y) = x1y1q(e1) + x2y2*q(e2)....xnyn*q(en)
J´en déduis que la matrice de Φ dans toute base orthogonale est non seulement symétrique mais diagonale non?
me gour-je?
merci d´avance
christophe
C'est bien ça, puisque les produits scalaires Φ(ei,ej) disparaissent. Mais attention, c'est vrai dans toute base orthogonale relativement à Φ... Ne pas céder à la tentation d'utiliser par exemple la base canonique ("orthogonale" pour le produit scalaire standard)... Encore que dans ce dernier cas, c'est vraiment trop gros, mais on peut se faire piéger dans des cas plus subtilement cachés.Envoyé par christophe_de_Berlin
-- françois
et donc, dans une bas orthonormée, on pourrait même écrire:
Φ(x,y) = x1y1 + x2y2....xnyn?
C'est même la forme canonique. Toute forme quadratique (ou forme bilinéaire, c'est kif) définie positive se met sous cette forme, moyennant un changement de base bien choisi.
Et si la forme n'est pas définie positive, elle est équivalente à une forme
Φ(x,y) = x1y1+ ... + xpyp - xp+1yp+1 - ... -xryr
avec r <= n, et le nombre de signes + et de signes - caractérise la forme.
-- françois
justement je suis en train d´essayer de comprendre le sens de cette signature:
Si je comprend bien, si ma forme quadratique est definie positive, alors r = n et la signature est (n,0)?
Mais question bête: Cette signature, a quoi elle sert?
j´ai encore une question à ce propos:
D´après la définition d´un produit scalaire, forme bilinéaire symétrique définie positive, j´en déduis que tout produit scalaire est non dégénéré, puisqu´il n´a qu´un élément isotrope. C´est ça?
Farpaitement.
Réponse bête: à pas grand'chose. C'est juste un invariant, on sait que deux formes quadratiques sont équivalentes si, et seulement si, elles ont même signature (théorème d'inertie de Sylvester). C'est déjà bien...Mais question bête: Cette signature, a quoi elle sert?
Sinon, on connaît plein de choses sur les définies positives (signature (n,0), c'est la géométrie euclidienne classique), un peu moins sur les semi-définies positives (signature (r,0) avec r < n), et quasiment rien sur les autres. Si, un peu quand même sur les (p,q) avec p+q=n, et surtout les (n-1,1).
-- françois
Voui. Je suppose que le seul élément isotrope en question, tu veux parler de 0? Parce qu'en général on ne le mentionne même pas.
-- françois
Et ça veut quoi au juste, que deux formes quadratiques sont équivalentes?
Est-ce c´est la même forme dans deux bases différentes ou est-ce ça n´a rien á voir?
C'est ça.
Ou (mais en option) que c'est deux formes différentes, avec la même expression dans des bases différentes. C'est un peu comme pour les coordonnées d'un vecteur. Un couple (x,y) peut être les coordonnées de deux vecteurs différents dans deux bases différentes. Et un seul et même vecteur a des coordonnées différentes (x,y) et (x',y') dans des bases B et B' différentes.
-- françois
oui mais alors, il faut en conclure que dans un même espace de dimension n, il toutes les formes bilinéaires symétriques définies positives sont équivalentes?!!
Fichtre!! C´est comme s´il n´y avait qu´une forme bilinéaire symétrique définie positive possible.
Tout à fait. Tu viens de démontrer le théorème suivant :
Toute matrice symétrique définie positive est diagonalisable en base orthonormale.
__
rvz
Ce n'est pas "comme si". C'est comme ça.(et pas autrement).
(pour rvz: je préfère franchement ce genre de formulation...)
-- françois
excuse-moi de redemander une précision: Quand tu écris diagonalisable, ça suggère qu´il est possible d´écrire la matrice d´un façon non diagonale. Ne faudrait-il pas plutôt écrire: Toute matrice symétrique définie positive est diagonae en base orthonormale?
enfin je voulais dire évidement diagonale, pas diagonae...
Non. Si tu prends une matrice symétrique définie positive, par exemple A=
(1 2)
(2 5)
Quand je dis définis positive, je veux dire que la forme quadratique associée q(X) = t(X) A X, où t est la transposée satisfait q(X) >0 pour tout vecteur X non nul. Dans ce cas particulier, tu peux voir assez facilement que
q(X) = (x+2y)^2 + y^2
Donc, dans la base f1 = 2e1-e2, f2 = e1, cette matrice est diagonale, et cette base est orthonormale pour la forme bilinéaire associée à q.
__
rvz
ben maintenant que j´y ai réfléchi, désolé, je suis plus tout-à-fait d´accord: Phi(x,y) = 1/2[q(x+y) - q(x) - q(y)].
Donc rien ne prouve que si phi et q sont définies positives le Ker(phi) = 0e (élément neutre de phi).
Donc de Phi définie positive, on ne peut conclure qu´elle est non dégénérée.
ou y a-t-il un truc?
j´ai une autre question d´un autre ordre en ce qui concerne les formes quadatiques et bilinéaires:
je viens de lire un exo dont je ne comprend pas le corrigé.
Il s´agit d´écrire la matrice d´une forme bilinéaire. Dans le corrigé ils procèdent comme ça:
q (x, y, z, t) = b*x^2 + b*t^2 - a*y*z + (2b+a)*x*t
et ils en concluent la matrice dans une base canonique.
a et b sont des paramétres des formes phi et q, (x, y, z, t) est évidement un élément de R4.
Ma question est la suivante: y a-t-il un "truc" pour déduire la matrice d´une a forme bilinéaire à partir de la formule de sa forme quadratique associée?
En tout cas, j´ai eu beau chercher, j´ai pas trouvé de lien directe.
merci d´avance
Bon, d'accord, y a peut -être un truc.
signifie
Du coup, si
__
rvz
Evidemment, j'ai oublié de répondre à un bout de la question.
Pour faire simple,
pour les termes carrés, du type
pour les termes de la forme
Bon, après, si tu te demandes pourquoi on fait comme ça, une réponse possible est : Parce que ça marche ! Et en plus, la matrice est bien symétrique, comme on l'espérait...
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rvz
merci, vous êtes des bêtes!! Mais d´où vous sortez ça? Franchement je l´ai lû nul-part, mais ça a l´air de coller exactement avec le corrigé de cet exo.
Oh tu sais on n'a rien inventé ! Je me suis posé les mêmes questions que toi il y a quelques années, c'est tout.
Bonne continuation,
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rvz
encore une tout petite question, mais vraiment toute petite:
Cette formule pour la matrice marche aussi même si la forme n´est pas définie positive, c.a.d. pas seulement pour les produits scalaires non?
Oui, tout à fait.
Il te suffit de vérifier que ça marche. Tu demandes juste à la forme d'être bilinéaire symétrique
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rvz
dsl, y a encore un truc qui me chiffonne:
Dans mes bouquins, ils me parlent maintenant de la signature d´une forme quadratique: Je croyais qu´il n´y a que les formes bilinéaires qui ont une signature.
Mais dîtes moi: je suppose qu´une forme bilinéaire et sa forme quadratique associée ont la même signature non?
Dîtes oui s´il vous plait, ça me simplifierait la vie
Oui Oui.
Une forme bilinéaire est dégénérée ssi sa forme quadraitique associée l'est.
Les signatures se correspondent aussi.
Les maths, en général, c'est quand même un tout petit peu cohérent
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rvz
encore une précision: Le truc que tu viens d´expliquer: Faut-il qu´on se trouve dans une base orthogonale ou bien ça ne joue aucun rôle?
Ca ne joue aucun role, la signature est un invariant, c'est à dire que ça ne dépend de rien d'autre que de la forme (bilinéaire ou quadratique) que tu t'es donnée.
