Bonjour, j'aimerais savoir s'il existe une demonstration simple montrant que la dérivée d'une application:
t -> b(x1(t),...,xn(t)) avec b bilinéaire où les xi sont des vecteurs vaut :
t-> b(x1'(t),...,xn(t))+...+b(x1(t ),...,xn'(t))
Si oui pourriez vous me donner un lien je ne trouve pas sur google ni dans les cours du forum.
Merci bien.
Bonjour !
Tout d'abord l'application b sera multilinéaire (et non bilinéaire).
Sinon, tu peux le faire pour une application bilinéaire, puis généraliser (récurrence, par exemple)
Ou alors le faire brutalement en reprenant la définition de la dérivée.
Ok alors comment le faire pour une application bilinéaire, en revenant a la définition ? Moi je bloque.
Je ne m'en souviens pas très bien (mea culpa), mais en appelant B ton application bilinéaire, il me semble qu'il faut calculer B(f(a+h)-f(a);g(b+h)-g(b)) et B(f(a+h),g(b+h))-B(f(a);g(b))
Je vais essayer de retrouver la démo en attendant.
Oups... délai d'édition dépassé...
Donc en développant les deux termes que j'ai indiqué, on doit arriver à quelque chose du genre :
B(f(a+h),g(b+h))-B(f(a);g(b)) = B(f(a+h)-f(a);g(b)) + B(f(a);g(b+h)-g(b)) + B(f(a+h)-f(a);g(b+h)-g(b))
(je te laisse vérifier si le calcul est bon)
Reste plus qu'à montrer que B(f(a+h)-f(a);g(b+h)-g(b))=h*e(h), avec e(h) tend vers 0 quand h tend vers 0...
A voir.
En fait j'ai trouvé un methode plus simple. Pouvez vous confirmer :
B(x,y) une application bilinéaire. Alors notons:
f(t)=B(x(t),y(t)). La composition des différentielles permet d'ecrire :
f'(t)=x'(t) * d/dx(B(x(t),y(t))) + y'(t) * d/dy(B(x(t),y(t))
Or les applications :
x->B(x,y) et y -> B(x,y) sont linéaires donc :
f'(t)=x'(t) * B(1,y(t)) + y'(t) * B(x(t),1)
Puis on conclut en utilisant la linéarité de B rapport a chaque coordonnée...
LolEnvoyé par Gpadide
Je dois être ton aîné de beaucoup, pas la peine de me vouvoyer
Sinon je ne vois pas de mal dans ta démo
Si tu pouvais juste expliquer un peu le passage :
Or les applications :
x->B(x,y) et y -> B(x,y) sont linéaires donc :
f'(t)=x'(t) * B(1,y(t)) + y'(t) * B(x(t),1)
J'ai pas tout saisi.
Bien le bonsoir.
En fait le "vous" s'adressait a tout le forum (: .
J'utilise le fait que pour une fonction linéaire u, l'application w = u o v est dérivable (pour v une fonction dérivable) et vaut :
w' = u o v'.
Dans mon cours c'est un théoreme, si tu ne le connais pas je peux te montrer la demonstration.
Non je connais le théorème aussi
Ce qui m'embetait plus, c'est que B est normalement bilinéaire, donc application de ExF dans R (dans le cadre du programme) mais dans ce cas, f et g peuvent être des fonctions vectorielles... auquel cas la multiplication me semble un peu délicate.
Mais bon ça fait 4semaines que j'ai plus relu ce cours, alors je peux dire des betises...
non tu as raison je n'y avais pas pensé
ma demonstration est valable pour les formes multilinéaires je pense...
Meme pas en fait...
Pourtant il me semble que je tiens un piste, qui pourrait ptet eviter de repasser par les h et les epsilon...c frustrant ! (dsl pour les 3 posts )
