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Dérivation d'applications bilinéaires.



  1. #1
    Gpadide

    Dérivation d'applications bilinéaires.


    ------

    Bonjour, j'aimerais savoir s'il existe une demonstration simple montrant que la dérivée d'une application:
    t -> b(x1(t),...,xn(t)) avec b bilinéaire où les xi sont des vecteurs vaut :
    t-> b(x1'(t),...,xn(t))+...+b(x1(t ),...,xn'(t))
    Si oui pourriez vous me donner un lien je ne trouve pas sur google ni dans les cours du forum.
    Merci bien.

    -----

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  3. #2
    kron

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Bonjour !

    Tout d'abord l'application b sera multilinéaire (et non bilinéaire).

    Sinon, tu peux le faire pour une application bilinéaire, puis généraliser (récurrence, par exemple)
    Ou alors le faire brutalement en reprenant la définition de la dérivée.
    Life is music !

  4. #3
    Gpadide

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Ok alors comment le faire pour une application bilinéaire, en revenant a la définition ? Moi je bloque.

  5. #4
    kron

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Je ne m'en souviens pas très bien (mea culpa), mais en appelant B ton application bilinéaire, il me semble qu'il faut calculer B(f(a+h)-f(a);g(b+h)-g(b)) et B(f(a+h),g(b+h))-B(f(a);g(b))
    Je vais essayer de retrouver la démo en attendant.
    Life is music !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    kron

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Oups... délai d'édition dépassé...

    Donc en développant les deux termes que j'ai indiqué, on doit arriver à quelque chose du genre :

    B(f(a+h),g(b+h))-B(f(a);g(b)) = B(f(a+h)-f(a);g(b)) + B(f(a);g(b+h)-g(b)) + B(f(a+h)-f(a);g(b+h)-g(b))

    (je te laisse vérifier si le calcul est bon)

    Reste plus qu'à montrer que B(f(a+h)-f(a);g(b+h)-g(b))=h*e(h), avec e(h) tend vers 0 quand h tend vers 0...
    A voir.
    Life is music !

  8. #6
    Gpadide

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    En fait j'ai trouvé un methode plus simple. Pouvez vous confirmer :
    B(x,y) une application bilinéaire. Alors notons:
    f(t)=B(x(t),y(t)). La composition des différentielles permet d'ecrire :

    f'(t)=x'(t) * d/dx(B(x(t),y(t))) + y'(t) * d/dy(B(x(t),y(t))

    Or les applications :

    x->B(x,y) et y -> B(x,y) sont linéaires donc :

    f'(t)=x'(t) * B(1,y(t)) + y'(t) * B(x(t),1)

    Puis on conclut en utilisant la linéarité de B rapport a chaque coordonnée...

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  10. #7
    kron

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Pouvez vous confirmer :
    Lol
    Je dois être ton aîné de beaucoup, pas la peine de me vouvoyer
    Sinon je ne vois pas de mal dans ta démo
    Si tu pouvais juste expliquer un peu le passage :
    Or les applications :

    x->B(x,y) et y -> B(x,y) sont linéaires donc :

    f'(t)=x'(t) * B(1,y(t)) + y'(t) * B(x(t),1)

    J'ai pas tout saisi.

    Bien le bonsoir.
    Life is music !

  11. #8
    Gpadide

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    En fait le "vous" s'adressait a tout le forum (: .
    J'utilise le fait que pour une fonction linéaire u, l'application w = u o v est dérivable (pour v une fonction dérivable) et vaut :

    w' = u o v'.

    Dans mon cours c'est un théoreme, si tu ne le connais pas je peux te montrer la demonstration.

  12. #9
    kron

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Non je connais le théorème aussi
    Ce qui m'embetait plus, c'est que B est normalement bilinéaire, donc application de ExF dans R (dans le cadre du programme) mais dans ce cas, f et g peuvent être des fonctions vectorielles... auquel cas la multiplication me semble un peu délicate.
    Mais bon ça fait 4semaines que j'ai plus relu ce cours, alors je peux dire des betises...
    Life is music !

  13. #10
    Gpadide

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    non tu as raison je n'y avais pas pensé
    ma demonstration est valable pour les formes multilinéaires je pense...

  14. #11
    Gpadide

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Meme pas en fait...

  15. #12
    Gpadide

    Re : Dérivation d'applications bilinéaires.

    Pourtant il me semble que je tiens un piste, qui pourrait ptet eviter de repasser par les h et les epsilon...c frustrant ! (dsl pour les 3 posts )

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