transposée

[invite1660b329]

bonjours la question que je n'arrive pas à résoudre est la suivante:montrer QUE tr(A^tA)=0 implique A=(0)
où tr est la trace de la matrice

pouvez vous m'aider??
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[invite7553e94d]

Bonjour.
Tu peux passer par l'expression de tr(A^tA) en fonction des a_i,j, c'est un peu lourd mais ça fonctionne.
Sinon pour une analyse plus fine, tu peux tenter de démontrer la contraposée (ce n'est pas sûr que ce soit facilement faisable).

[GuYem]

Je pense qu'il est bon de faire une fois dans sa vie le calcul des coefficients de AtA en fonction de ceux de A ; pour le sport, et surtout pour s'en rappeler après !

[invite7553e94d]

Je pense qu'il est bon de faire une fois dans sa vie le calcul des coefficients de AtA en fonction de ceux de A ; pour le sport, et surtout pour s'en rappeler après !

La méthode russe

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1660b329]

c'est quoi la méthode russe?

[invite1660b329]

c certes un sport mais je bloque sur le calcul de A^tA j'ai du me tromper qulque part:s pouvez vous me dire ce que vous trouvez?

[GuYem]

Si on te le dit, on fait l'exo à ta place.

Tu te rappelles la formule qui donne le coefficient d'indice (i,j) du produit de deux matrices ? Si oui, tu le fais avec la matrice A et la matrice tA.

[invite7553e94d]

c'est quoi la méthode russe?

250 exercices par semaine

[invite1660b329]

si A=(ai,j) alor ^tA=(aj,i) non?

[invite7553e94d]

Oui, c'est l'idée.
Dis-nous ce que tu trouves, et la manière dont tu y parviens, nous pourrons t'aider à mettre le doigt sur tes erreurs.

[invite1660b329]

(A^tA)=*=


estc e correct?

[GuYem]

ca n'a pas l'air trop mal, mais ca me parait bien compliqué !

Tu dois connaitre une formule qui dit : Soit A une matrice de coefficients a_(i,j), B une matrice de coefficients b_(i,j) et C=AB. Alors le coefficient c_(i,j) de C est égal à c_(i,j) = somme ...

Tu fais ça avec A et B=tA ; donc b_(i,j)=a_j,i) comme tu l'as dit et tu obtiens le coefficient de AtA. Il te reste à regarder que vaut ce coefficient sur la diagonale et à sommer. Tu conclueras très vite ensuite.

Je ne crois pas qu'on puisse t'aider plus sans faire l'exo à ta place ...

[invite7553e94d]

Brouillon tout ça ... mais correct. Le soucis c'est qu'avec cette forme tu ne peux rien voir.

Notons la matrice produit de et de . Ce produit n'existe que si est une matrice carrée, notons sa dimension.

Pour tout ,


De plus, la trace de la matrice B vaut :


De et vient :


Et la magie ... on remarque que tous les coeff y passent. Donc ?
Edit : j'en ai encore trop dit

[invitec053041c]

Car on a une somme de carrés de réels donc si cette somme est nulle, tous les coeff sont nuls?
Donc dans C ceci serait faux?
Ou alors j'ai rien compris

[invite1660b329]

je vous remercie grandement

[GuYem]

Car on a une somme de carrés de réels donc si cette somme est nulle, tous les coeff sont nuls?
Donc dans C ceci serait faux?
Ou alors j'ai rien compris

On dirait bien que c'est faux dans C en effet ; prend la matrice :

1 0
0 i

[invitec053041c]

Hé oui bien vu