L'endomorphisme de la transposée !

[invitea87a1dd7]

Bonjour tout le monde,

Dans un exo, il faut étudier l'endomorphisme associé à la transposition.
C'est à dire on considère l'application suivante :


On demande les éléments propres, le déterminant et la trace de cet endo.

Pour les éléments propres, il y a déja le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 qui est l'ensemble des matrices symétriques, celui associé à la valeur -1 l'ensemble des matrices antisymétriques.

Mais pour le déterminant, ce serait le déterminant d'une matrice carré de taille n^4 ? Idem pour la trace ? Je ne vois pas vraiment comment faire...

Merci pour votre aide !
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[invite4ef352d8]

Salut !


cette endomorphisme vérifie f²=Id

donc X²-1 =(X-1)(X+1) est un polynome anulateur scindé. donc l'endomorphisme est diagonalisable, ces valeurs propres sont +1 et -1. commetu l'as remarqué.

donc l'ordre de multiplicité des valeurs propres c'est la dimension de l'espace propres associé... que tu connais !


a partir de la la trace c'est la somme des valeurs propres, la determinant le produit des valeurs propres compté avec leurs ordre de multiplicité.

[invitea87a1dd7]

Ah oui effectivement...
Merci !