Espace vectoriel dual

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai un corps , V un espace vectoriel droit sur , deux bases de V alors il existe une matrice C inversible telle que :



Si désignent les bases duales de u et e respectivement alors cela implique :



Mais je ne comprend pas pourquoi. Pourriez-vous me dire d'où est-ce que cela vient ?

Et si V est un vectoriel gauche plutôt ? Aurais-je alors :

d'où ?

merci
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[invite35452583]

e*est l'unique base du dual telle que e*e=matrice identité
Cu*e=Cu*uC^-1=CIdC^-1=Id donc Cu*=e*.
Idem pour l'autre sens.

[Bleyblue]

Ah oui tout simplement, je me disais aussi que c'était un bête petit raisonnement comme ça.

merci bien !

[Bleyblue]

Ah autre chose :

Si f est un morphisme de vectoriels droit ayant M pour matrice dans des bases v et w de V et W respectivement alors la matrice de l'application transposée :



a pour matrice M dans les bases et des espaces duaux et . (vu commes vectoriels gauches)

Mais alors je ne comprend pas pourquoi l'an dernier (lorsqu'on travaillait sur des corps commutatifs) pour trouver la matrice de l'application transposée on inversait lignes et colonnes de la matrice M.

Ca doit être une bêtise mais ça m'échappe ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Ton application duale f* va de W* dans V*. A la forme linéaire h : W->K on peut associer l'application hof : V->W->K.
On obtient aisément que , la matrice de f* est donc la transposée de M (d'ailleurs si V et W n'ont pas même dimension il y aurait un problème).

[Bleyblue]

Mais en fait maintenant que j'y réfléchis c'est peut-être simplement une question de notation.

Pour les espaces vectoriels droit nous on note cela comme ça (pour simplifier je considère que la dimension de V et celle de W est 3 et que {e₁, e₂, e₃} est une base, (x1,x2,x3) un vecteur donc on veut connaître l'image par f )



Tandis que si V est un vectoriel gauche :



Ce qui explique peut-être tout ... ou pas

merci

[invite35452583]

Oui cette manière de noter effectue une transposition entre l'écriture à gauche et celle à droite et comme transposée de transposée=identité...

[Bleyblue]

Ah, ce n'est donc pas une notation standard qu'on utilise la ...

Enfin ça explique pourquoi on ne transpose plus, j'aurais dû m'en rendre compte plus tôt

merci !

[Bleyblue]

Autre chose encore :

Je chercher à montrer que si W₁ et W₂ sont des sous vectoriels d'un vectoriel droit V alors :



( désigne l'orthodual du sous-espace A)
mais je ne vois pas bien comment montrer l'inclusion du membre de droite à celui de gauche.

J'ai donc un morphisme s'annulant sur l'intersection de W1 et W2 et je voudrais montrer que ce morphisme est la somme de deux morphismes l'un s'annulant sur W1 l'autre sur W2.

Auriez-vous une idée de comment procéder ? Je pense qu'il faut considérer une base de W1 inter W2 et la prolonger en une base de W1 et en une autre base de W2 mais cela ne m'aide pas tant que ça pour contruire les deux fonctions.

merci