arithmétique avec Z/nZ
Je voudrai savoir comment on fait pour résoudre un exo d'arithmétique dans le genre déterminé pour tt n dans N le reste de la division euclidienne de 38 par 5 (c un exemple mais je voudrai pour n'importe quel chiffre) vous pouvez m'aider svp ?
merci
Dans un cas précis comme celui-là, on pose la division.
Sinon dans un cas général, "donner le reste de la division euclidienne de n par p", on n'a pas de résultat immédiat, c'est d'ailleurs pour ça qu'on a inventé le modulo.
Le reste cherché est par définition n[mod p]
Salut,
le reste de la division euclidienne de 38 par 5 c'est 3, et le reste de la division euclidienne de a par b est r tel que a=bq+r et.
Je ne vois pas trop où est le problème.
Cordialement.
EDIT : grillé par Guyem !
excusez moi c'est parce que j'ai oublié un léger détail, c'est determiner pour tout n dans N le reste de la division euclidienne de 38^n par 5 (je crois que c'est l'exemple que j'ai donné...) j'avais oublié l'exposant n, autant pour moi...
j'ai trouV le resultat par les congruences mais je voudrai comprendre comment on atteint ce résultat par les classes dans Z/nZ
Salut, c'est du simple calcul dans Z/nZ :
puisque 38 = 3 [5] alors 38^n = 3^n [5]
Il te reste à faire quelques petits calculs, 3 [5], 3^2 [5], 3^3 [5] etc.. jusqu'à ce que tu vois apparaitre une certaine formule, que tu montreras ensuite par récurrence.
Facile de donner des idées hein ?
Oui comme ça c'est facile mais ça ne fait pas intervenir les classes dans Z/nZ, ça c'est la méthode par congruence non ?
Je trouve que ça fait intervenir les classes dans Z/5Z !
Tu utilises à fond le fait que si la classe de a c'est c et la classe de b c'est d, alors la classe de ab c'est la classe de cd.
C'est strictement la même chose.Envoyé par Grincheu
Cordialement.
EDIT : encore grillé !!!
Bonjour,
Juste pour rajouter mon grain de sel, et pour rendre les choses un peu plus systématique.
Tu veux calculer le reste de a^n modulo p, où p est un nombre premier.
Alors p étant un nombre premier Z/pz * est cyclique, et d'après le théorème d'Euler, a^{p-1} = 1 modulo p
Donc en fait, pour calculer le reste de a^n, tu prends b le reste de la division de n par (p-1), et tu obtiens que pour tout a, a^n = a^b modulo p.
Dans ton exemple, imagine n = 5333. p = 5, donc tu as juste à regarder le reste de 5336 par 4, qui vaut 1, et tu en déduis que pour tout a, a^n = a modulo 5...
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rvz
