Arithmétique

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai 5 exos d'entrainement pour la spé maths et je bloque sur 3 exos.Je vais vous écrire les énoncés et je vous prie de me mettre sur les pistes.

1er exo
Soit q un nombre premier tel que q=5 et 5X7X...Xq le produit de tous les nombres entiers premiers entre 5 et q.
On pose N=2²X5X7X....Xq+3

1) Soit p un nombre permier divisant N.
Montrer que p>q et que p est de la forme 4n+1 ou 4n+3
2)Soit N=p₁ ^A1 .....p_r ^Ar
la décomposition de n en facteurs premiers.
Montrer qu'il existe i (1=<i=<r) tel que p_i soit de la forme 4n+3.
3)En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.

2ème exo

Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 28 diviseurs ?

3ème exo

Montrer qu'un entier admet un nombre impair de diviseurs ssi c'est un carré.

Merci de bien vouloir me répondre.
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[invited1d6a7ea]

Exo 3 :
Soit n=x^2, écrit la décomposition de x et de n et regarde la parité des exposants dans le décomposition de n.
Il ne te restera qu'à conclure.

Exo 2 :
Ca c'est exaustif si tu veux le faire bourrin mais sinon il suffit de voir que si
N=p₁ ^A1 .....p_r ^Ar il y a exactement (si les pi sont différents 2 à 2) (A1+1)*(A2+1)*....*(Ar+1) diviseurs (chaque nombre premier est pris entre 0 et Ai).
Reste à déterminer la décomposition de 28=2*2*7=4*7=2*14
Donc tu teste les Ai possibles en fonction de ça et tu donne bien sur le Ai le plus gros au P_i le plus petit (2 puis 3....).
A toi de conclure.

Exo 1 :
vérifie ton énoncé, il y a des erreurs dans celui-là (p peut valoir 5<q)

[invite56f88dc9]

Voici la correction pour le premier exo :
q est supérieur à 5 et non égal.

[invite56f88dc9]

Bonsoir.
Pour le deuxième exercice je sais que 28=4*7=(1+1)(13+1)
donc n=p^a1 *p¹³ ou n=p²⁷
Mais après je suis bloqué.
Merci de bien vouloir m'aider.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f5c0a62]

tu as fais le 1) du 1er exo ?

sinon je te propose :

Pour montrer que p>q,

par l'absurde on suppose p< ou p = q,

comme p|N, on a p|2²*(produit) + 3

le produit étant composé de premiers inférieurs ou égaux à q mais plus grand que 5, on a 3 cas de figure,

p > ou = 5, alors p divise le produit mais pas 3 (car il est plus grand)
p = 3 il divise 3 mais pas 2²*produit
p = 2 il divise 2² mais pas 3

dans les 3 cas de figure, cela rentre en contradiction avec p|N
donc p>q

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pour le petit truc p = 4n+1 ou 4n+3 (n€N) p étant entier, il peut s'écrire de ces façons suivantes :
4n, 4n+1, 4n+2 ou 4n+3 et p est premier donc impair il reste donc :
4n+1 et 4n+3

[invite56f88dc9]

Moi je bloquais au deuxième.