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Arithmétique



  1. #1
    sensor

    Arithmétique


    ------

    Bonjour.
    J'ai 5 exos d'entrainement pour la spé maths et je bloque sur 3 exos.Je vais vous écrire les énoncés et je vous prie de me mettre sur les pistes.

    1er exo
    Soit q un nombre premier tel que q=5 et 5X7X...Xq le produit de tous les nombres entiers premiers entre 5 et q.
    On pose N=2²X5X7X....Xq+3

    1) Soit p un nombre permier divisant N.
    Montrer que p>q et que p est de la forme 4n+1 ou 4n+3
    2)Soit N=p1 A1 .....pr Ar
    la décomposition de n en facteurs premiers.
    Montrer qu'il existe i (1=<i=<r) tel que pi soit de la forme 4n+3.
    3)En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.

    2ème exo

    Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 28 diviseurs ?

    3ème exo

    Montrer qu'un entier admet un nombre impair de diviseurs ssi c'est un carré.

    Merci de bien vouloir me répondre.

    -----

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  3. #2
    manitou

    Re : Arithmétique

    Exo 3 :
    Soit n=x^2, écrit la décomposition de x et de n et regarde la parité des exposants dans le décomposition de n.
    Il ne te restera qu'à conclure.

    Exo 2 :
    Ca c'est exaustif si tu veux le faire bourrin mais sinon il suffit de voir que si
    N=p1 A1 .....pr Ar il y a exactement (si les pi sont différents 2 à 2) (A1+1)*(A2+1)*....*(Ar+1) diviseurs (chaque nombre premier est pris entre 0 et Ai).
    Reste à déterminer la décomposition de 28=2*2*7=4*7=2*14
    Donc tu teste les Ai possibles en fonction de ça et tu donne bien sur le Ai le plus gros au Pi le plus petit (2 puis 3....).
    A toi de conclure.

    Exo 1 :
    vérifie ton énoncé, il y a des erreurs dans celui-là (p peut valoir 5<q)

  4. #3
    sensor

    Re : Arithmétique

    Voici la correction pour le premier exo :
    q est supérieur à 5 et non égal.

  5. #4
    sensor

    Re : Arithmétique

    Bonsoir.
    Pour le deuxième exercice je sais que 28=4*7=(1+1)(13+1)
    donc n=pa1 *p13 ou n=p27
    Mais après je suis bloqué.
    Merci de bien vouloir m'aider.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Romain BERTOUY

    Re : Arithmétique

    tu as fais le 1) du 1er exo ?

    sinon je te propose :

    Pour montrer que p>q,

    par l'absurde on suppose p< ou p = q,

    comme p|N, on a p|2²*(produit) + 3

    le produit étant composé de premiers inférieurs ou égaux à q mais plus grand que 5, on a 3 cas de figure,

    p > ou = 5, alors p divise le produit mais pas 3 (car il est plus grand)
    p = 3 il divise 3 mais pas 2²*produit
    p = 2 il divise 2² mais pas 3

    dans les 3 cas de figure, cela rentre en contradiction avec p|N
    donc p>q

    -----

    pour le petit truc p = 4n+1 ou 4n+3 (n€N) p étant entier, il peut s'écrire de ces façons suivantes :
    4n, 4n+1, 4n+2 ou 4n+3 et p est premier donc impair il reste donc :
    4n+1 et 4n+3
    Romain

  8. #6
    sensor

    Re : Arithmétique

    Moi je bloquais au deuxième.

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