Nombres complexes

[invite406373bf]

Bonjour à tous,

Sauriez-vous m'aider à résoudre cette question?

Soit a et b deux nombres complexes de module 1 tels ques a*b différent de -1 , montrer que (a+b)/(1+a*b) appartient à l'ensemble des réels.

Merci d'avance !
Julien
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[inviteeecca5b6]

Salut,

la première idée serait d'écrire
a = x + iy
b = p + iq

Avec
x² + y² = 1
p² + q² = 1

Ensuite,

(a+b)/(1+a*b) = (x+p + i(y+q))/(1+a*b)

On remplace 1+ab par 1+(x+iy)(p+iq), on développe, puis multiplie en haut et en bas par le conjugué complexe. Enfin, on vérifie que la partie réel d'en haut est bien nulle (oublions pas que ab différent de 1).

'oila, peut-etre qu'il y a plus simple.

[invite406373bf]

Je te remercie !

[inviteb85b19ce]

Bonsoir,

Peut-être légèrement plus rapide :

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeecca5b6]

En effet, plus rapide...

Bien vu !

[invite1ff1de77]

encore plus rapide
on a
|a|=1 => a=1/a(barre)
alors
(a+b)*1/(1+ab) = [1/a(barre)+1/b(barre)]/(1+ab)
= [[a(barre)+b(barre)]/[a(barre)*b(barre)]]/(1+ab)
= [a(barre)+b(barre)]/[a(barre)*b(barre)+1]
car ab*a(barre)*b(barre)=1
donc on a demontré que z=z(barre) d'ou z est un reel
as required