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Nombres complexes



  1. #1
    Julo486

    Question Nombres complexes


    ------

    Bonjour à tous,

    Sauriez-vous m'aider à résoudre cette question?

    Soit a et b deux nombres complexes de module 1 tels ques a*b différent de -1 , montrer que (a+b)/(1+a*b) appartient à l'ensemble des réels.

    Merci d'avance !
    Julien

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Evil.Saien

    Re : Nombres complexes

    Salut,

    la première idée serait d'écrire
    a = x + iy
    b = p + iq

    Avec
    x² + y² = 1
    p² + q² = 1

    Ensuite,

    (a+b)/(1+a*b) = (x+p + i(y+q))/(1+a*b)

    On remplace 1+ab par 1+(x+iy)(p+iq), on développe, puis multiplie en haut et en bas par le conjugué complexe. Enfin, on vérifie que la partie réel d'en haut est bien nulle (oublions pas que ab différent de 1).

    'oila, peut-etre qu'il y a plus simple.
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  4. #3
    Julo486

    Re : Nombres complexes

    Je te remercie !

  5. #4
    Odie

    Re : Nombres complexes

    Bonsoir,

    Peut-être légèrement plus rapide :





  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Evil.Saien

    Re : Nombres complexes

    En effet, plus rapide...

    Bien vu !
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  8. #6
    the strange

    Re : Nombres complexes

    encore plus rapide
    on a
    |a|=1 => a=1/a(barre)
    alors
    (a+b)*1/(1+ab) = [1/a(barre)+1/b(barre)]/(1+ab)
    = [[a(barre)+b(barre)]/[a(barre)*b(barre)]]/(1+ab)
    = [a(barre)+b(barre)]/[a(barre)*b(barre)+1]
    car ab*a(barre)*b(barre)=1
    donc on a demontré que z=z(barre) d'ou z est un reel
    as required

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