Soit a et b deux nombres complexes de module 1 tels ques a*b différent de -1 , montrer que (a+b)/(1+a*b) appartient à l'ensemble des réels.
Merci d'avance !
Julien
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04/11/2005, 17h50
#2
Evil.Saien
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Re : Nombres complexes
Salut,
la première idée serait d'écrire
a = x + iy
b = p + iq
Avec
x² + y² = 1
p² + q² = 1
Ensuite,
(a+b)/(1+a*b) = (x+p + i(y+q))/(1+a*b)
On remplace 1+ab par 1+(x+iy)(p+iq), on développe, puis multiplie en haut et en bas par le conjugué complexe. Enfin, on vérifie que la partie réel d'en haut est bien nulle (oublions pas que ab différent de 1).
'oila, peut-etre qu'il y a plus simple.
Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs
04/11/2005, 17h51
#3
invite406373bf
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Re : Nombres complexes
Je te remercie !
04/11/2005, 18h14
#4
inviteb85b19ce
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Re : Nombres complexes
Bonsoir,
Peut-être légèrement plus rapide :
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
04/11/2005, 18h16
#5
Evil.Saien
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Re : Nombres complexes
En effet, plus rapide...
Bien vu !
Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs
04/11/2005, 19h55
#6
invite1ff1de77
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Re : Nombres complexes
encore plus rapide
on a
|a|=1 => a=1/a(barre)
alors
(a+b)*1/(1+ab) = [1/a(barre)+1/b(barre)]/(1+ab)
= [[a(barre)+b(barre)]/[a(barre)*b(barre)]]/(1+ab)
= [a(barre)+b(barre)]/[a(barre)*b(barre)+1]
car ab*a(barre)*b(barre)=1
donc on a demontré que z=z(barre) d'ou z est un reel
as required