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Problème de volume



  1. #1
    Bauj

    Question Problème de volume


    ------

    Bonjour,
    voici le pb:
    Un réservoir est assimilé à un cylindre de hauteur H et de rayon de base R. On remplit partièlement ce réservoir d'un liquide.
    Exprimer le volume du liquide en fonction de la hauteur L du liquide. Evidemment le réservoir est couché( le plan de sa base circulaire est vertical) sinon ce serait trop facile! (Donc L est compris entre 0 et 2R).
    Le problème: on coupe un disque suivant une corde. Calcul des 2 aires obtenues suivant la coupe ( par exemple en fonction de la position du point d'intersection de la corde avec le diamètre qui lui est perpendiculaire).
    Merci pour vos solutions à venir et "avenires".

    -----

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  3. #2
    doryphore

    Smile Re : Problème de volume

    Tu dois calculer une intégrale donc exprimer la longueur d'une corde en fonction de sa distance au centre, ce qui s'obtient avec le théorème de Pythagore.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    iwio

    Re : Problème de volume

    j'ai une méthode, qui je crois elle marche, mais il faut différencier deux cas. Donc pas très pratique.

    Ma méthode serais d'exprimer l'angle entre ta corde et le centre. Si ta corde est le segment [MN], alors c'est l'angle MÔN (theta).

    Ensuite, avec cette angle, calculer l'aire engendrée par MON et l'arc de cercle il suffit d'une integrale de 0 à theta.
    Et si l'on est au dessus de O, ajouter le triangle manquant, ou si l'on est en dessous de O, le retirer. On trouve facilement l'aire de ce triangle avec pythagore.

    Comme tu peux le voir, c'est très lourd. Je pense qu'il y a beaucoup plus simple. Mais bon, c'est une idée comme une autre.

  5. #4
    Evil.Saien

    Re : Problème de volume

    Citation Envoyé par iwio
    Ensuite, avec cette angle, calculer l'aire engendrée par MON et l'arc de cercle il suffit d'une integrale de 0 à theta.
    Encore plus simple, cette surface est tetha * R²...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Problème de volume

    Par l'angle au centre ça marche sans intégrale. Soit \alpha tel que pour le plein, et pour vide.

    Le triangle isocèle formé par la corde et le centre a pour surface . Ce qui reste est un secteur de cercle de surface . La hauteur est .

    Je n'ai rien vérifier, il y a sûrement une erreur ou deux, mais c'est pour donner l'idée...

  8. #6
    iwio

    Re : Problème de volume

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Encore plus simple, cette surface est tetha * R²...
    Non, j'ai refais le calcule, cette surface est theta*R²/2

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  10. #7
    Odie

    Re : Problème de volume

    L'intégrale est facile à trouver en suivant l'indication de doryphore... par contre le calcul n'est pas immédiat :


  11. #8
    iwio

    Re : Problème de volume

    Citation Envoyé par Odie
    L'intégrale est facile à trouver en suivant l'indication de doryphore... par contre le calcul n'est pas immédiat :

    Pour faire le calcule, il faut sortir le R de la racine, et faire un changement de variable r/R = sin(alpha).

  12. #9
    Odie

    Re : Problème de volume

    Oui merci, moi c'est bon je sais faire...

    Je viens de voir aussi le précédent sujet posté par Bauj qui répond "comme par hasard" à la question.

  13. #10
    iwio

    Re : Problème de volume

    Citation Envoyé par Odie
    Oui merci, moi c'est bon je sais faire...

    Je viens de voir aussi le précédent sujet posté par Bauj qui répond "comme par hasard" à la question.
    Je disais pas ça pour toi
    Bah, c'est donc Bauj qui voulait intégrer .

  14. #11
    Bauj

    Re : Problème de volume

    Oui Odie, je suis démasqué!
    J'étais effectivement arrivé à la même intégrale que toi puis à intégrer sqr(1-x²) après un 1er chgmt de var...d'où mon 1er message!
    Le résultat final est un peu lourd,je suis arrivé au bout de la méthode angulaire proposée plus haut, elle est plus sympa.

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