Problème de volume

[invite0f6cbdd7]

Bonjour,
voici le pb:
Un réservoir est assimilé à un cylindre de hauteur H et de rayon de base R. On remplit partièlement ce réservoir d'un liquide.
Exprimer le volume du liquide en fonction de la hauteur L du liquide. Evidemment le réservoir est couché( le plan de sa base circulaire est vertical) sinon ce serait trop facile! (Donc L est compris entre 0 et 2R).
Le problème: on coupe un disque suivant une corde. Calcul des 2 aires obtenues suivant la coupe ( par exemple en fonction de la position du point d'intersection de la corde avec le diamètre qui lui est perpendiculaire).
Merci pour vos solutions à venir et "avenires".
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[doryphore]

Tu dois calculer une intégrale donc exprimer la longueur d'une corde en fonction de sa distance au centre, ce qui s'obtient avec le théorème de Pythagore.

[iwio]

j'ai une méthode, qui je crois elle marche, mais il faut différencier deux cas. Donc pas très pratique.

Ma méthode serais d'exprimer l'angle entre ta corde et le centre. Si ta corde est le segment [MN], alors c'est l'angle MÔN (theta).

Ensuite, avec cette angle, calculer l'aire engendrée par MON et l'arc de cercle il suffit d'une integrale de 0 à theta.
Et si l'on est au dessus de O, ajouter le triangle manquant, ou si l'on est en dessous de O, le retirer. On trouve facilement l'aire de ce triangle avec pythagore.

Comme tu peux le voir, c'est très lourd. Je pense qu'il y a beaucoup plus simple. Mais bon, c'est une idée comme une autre.

[Evil.Saien]

Ensuite, avec cette angle, calculer l'aire engendrée par MON et l'arc de cercle il suffit d'une integrale de 0 à theta.

Encore plus simple, cette surface est tetha * R²...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Par l'angle au centre ça marche sans intégrale. Soit \alpha tel que pour le plein, et pour vide.

Le triangle isocèle formé par la corde et le centre a pour surface . Ce qui reste est un secteur de cercle de surface . La hauteur est .

Je n'ai rien vérifier, il y a sûrement une erreur ou deux, mais c'est pour donner l'idée...

[iwio]

Encore plus simple, cette surface est tetha * R²...

Non, j'ai refais le calcule, cette surface est theta*R²/2

[inviteb85b19ce]

L'intégrale est facile à trouver en suivant l'indication de doryphore... par contre le calcul n'est pas immédiat :

[iwio]

L'intégrale est facile à trouver en suivant l'indication de doryphore... par contre le calcul n'est pas immédiat :

Pour faire le calcule, il faut sortir le R de la racine, et faire un changement de variable r/R = sin(alpha).

[inviteb85b19ce]

Oui merci, moi c'est bon je sais faire...

Je viens de voir aussi le précédent sujet posté par Bauj qui répond "comme par hasard" à la question.

[iwio]

Oui merci, moi c'est bon je sais faire...

Je viens de voir aussi le précédent sujet posté par Bauj qui répond "comme par hasard" à la question.

Je disais pas ça pour toi
Bah, c'est donc Bauj qui voulait intégrer .

[invite0f6cbdd7]

Oui Odie, je suis démasqué!
J'étais effectivement arrivé à la même intégrale que toi puis à intégrer sqr(1-x²) après un 1er chgmt de var...d'où mon 1er message!
Le résultat final est un peu lourd,je suis arrivé au bout de la méthode angulaire proposée plus haut, elle est plus sympa.