Bonjour tout le monde,
ma question sera brève :
Existe-t-il des conditions générales sur un vecteur aléatoire impliquant que sa matrice de covariance soit régulière (inversible)?
Mes quelques lectures glanées sur le net laissent entendre qu'une matrice de covariance régulière est une situation fréquente, sans toute fois en dire d'avantage...
Merci d'avance pour vos réponse
Je peux te dire que si les variables sont décorellés et qu'aucune n'est constante, alors la matrice de covariance est inversible !
Je ne connais pas non plus de résultats généraux annoncant l'inversibilité de la matrice sous des conditions sur X.
Par contre je sais que les matrices inversibles sont denses dans les matrices, on peut se douter qu'une matrice de covariance est "souvent" inversible.
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
salut,
je crois qu'il faut préciser un peu ta question:
soit, tu parles d'une distribution "à deux étages", avec une première distribution sur un espace de matrices pxp, et une seconde distribution sur R^p, dont la variance est aléatoire et issue de la première distribution. Dans ce cas tu contrôles la probabilité d'avoir une matrice non inversible, il me semble.
soit tu parles de la matrice de variance empirique d'un échantillon issu d'une distribution sur R^p. Dans ce cas, tu peux avoir une matrice non inversible par exemple si la taille de l'échantillon est plus petite que p.
merci pour ces premières réponses.
pour GuYem :
ça ne fait pas avancer le problème, mais ces considérations sont intéressantes...
pour ambrosio :
je vais essayer de préciser. Tout d'abord, je ne suis pas dans le cas d'une matrice de variance empirique d'un échantillon.
Ce qui me ferait pencher du côté de ta première situation. Mais je dois bien admettre que je ne la comprends pas, mais alors pas du tout.
Alors plutôt que de mettre des points d'interrogations partout dessus, je vais tenter de reformuler mon problème:
je considère un vecteur aléatoire (issu d'un problème qui n'a pas d'importance ici), je ne connais pas explicitement sa loi, mais je suis capable de calculer (numériquement**) ses premiers moments et en particulier sa matrice de covariance.
Il se trouve que si cette matrice était régulière, ou mieux définie positive, ça m'arrangerait bien.
D'où ma question.
pour alimenter encore la question :
j'ai lu sur un site la proposition suivante :
"La Matrice de Covariance ne peut pas être inversée quand elle n'est pas régulière, c'est à dire quand elle ne représente pas une densité authentiquement de dimension n. Ainsi, la Matrice de Covariance d'une "galette" plate immergée dans un espace à 3 dimensions ne peut pas être inversée."
Comme on le voit dans la formulation, le site n'est pas d'un grand niveau en mathématique. Cependant, si le rédacteur écrit cela, j'imagine qu'il y a une raison (il n'y pas de fumée sans feu...)
Si quelqu'un a déjà entendu parler de ce genre de propriété, merci de m'en faire part.
** : la remarque de GuYem sur la densité de l'ensemble des matrices inversibles prend son intérêt ici, mais l'argument ressemble plus à une pirouette, j'aimerais donc bien trouver quelque chose de plus solide...
je vois un peu mieux ce que tu veux dire.
Pour une loi normale multivariée, si la matrice de variance n'est pas inversible, alors la distribution est dite singulière ou dégénérée, i.e. son support est un ensemble de mesure nulle. Ca peut être une façon de vérifier que ta matice est inversible (si tu peux avoir une idée du support).
pour des distributions non gaussiennes je ne sais pas.
par contre c'est clair que comme non-inversible signifie déterminant=0, on peut dire que c'est un situation "rare". Maintenant, pour donner un sens précis au mot "rare", il faut soit introduire une loi de probabilité sur l'espace des matrices, soit parler de transversalité, soit (quoi d'autre?)
Etant donné la forme de mon vecteur aléatoire X, le support de sa densité n'a pas de raisons d'être de mesure nulle. L'argument m'intéressait donc assez, cependant mon X ne suis pas une loi normale.
si je te comprends bien, la piste reste donc ouverte...
Sinon, sur le même site, il y a écrit un peu plus loin :
"La Matrice de Covariance peut en général être diagonalisée (avec les mêmes restrictions que pour l'inversion). [...]Les Valeurs Propres sont les variances des projections de la distribution sur les Vecteurs Propres."
Ceci m'intéresse car une variance est par définition positive, et on a alors comme conséquence que la matrice de covariance serait de plus définie positive, ce qui m'intéresse fortement.
Qu'en est-il donc réellement?
malheureusement tout ce qu'on sait c'est que la matrice de (co-)variance est semi-définie positive.
tu ne nous dis pas comment t'est donnée ta distribution, donc c'est difficile d'en dire plus. Déjà s'il y a une densité la distribution n'est pas singulière par définition.
une autre piste: si tu as ou si tu peux calculer la transformée de fourier ça peut te donner la variance.
je trouve pas ça si malheureux, en fait, j'ignorais ceciEnvoyé par ambrosio
Ainsi tout prend son sens, si ma matrice est en plus régulière, elle est naturellement définie positive.
Sinon, j'ai pas trop le temps d'expliquer d'où vient mon X, mais comme je l'ai dis, je sais calculer les variances et covariances.
ok, j'ai trouvé ça : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice...nce-covariance
c'est un peu court, mais ça dit l'essentiel : en dehors des cas particulier où 2 v.a. seraient liées par une relation affine, une matrice de covariance est symétrique définié positive.
si personne n'a à redire la-dessus, je me contenterais de ça.
merci tout le monde
si tu veux, mais c'est un peu simplifié: en fait la matrice est singulière si les variables sont dépendantes au sens des espaces vectoriels (et pas au sens probabiliste, mais les deux sens coïncident pour la loi multinormale).
pourrais-tu préciser la distinction que tu fais sur la nature de la dépendance ?
je voulais dire liées i.e. ne formant pas une partie libre dans l'ev L^2 (on suppose que les v.a. ont des variances)
