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Système "somme-produit".



  1. #1
    Antikhippe

    Système "somme-produit".

    Bonjour,

    il me semble avoir remarqué quelque chose en résolvant des systèmes : existe-il une propriété disant qu'un système comportant une somme et un produit admet toujours des couples solutions ???

    exemple de système "somme-produit" :
    u^3 + v^3 = p
    u^3 * v^3 = q

    -----


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  3. #2
    Geof

    Re : Système "somme-produit".

    Dans l'exemple que tu donnes, u^3 et v^3 sont les solutions de l'équation:
    x²-px+q = 0

    Il est facile de le voir, en disant que:
    (x-u^3)(x-v^3) = x²-(u^3+v^3)x + u^3.v^3.

    Ce système a en fait 2 solutions dans R (qui correspondent à u^3 et v^3), si le discriminant D = p²-4q est positif.

    Sinon, et bien il existe quand même des solutions, mais dans un ensemble appelé C, qui est l'ensemble des nombres complexes.
    Un nombre complexe est un nombre qui peut s'écrire
    z = a + ib, avec a et b des réels, et i un nombre particulier qui, par définition est tel que:
    i² = -1

    Geoffrey

  4. #3
    Antikhippe

    Re : Système "somme-produit".

    Merci de ta réponse Geof. Mais alors on peut dire que la propriété que j'aie énocée est toujours vrai dans C, non ?

  5. #4
    Geof

    Re : Système "somme-produit".

    Oui. On voit ça en terminale et au-delà

    Geoffrey

  6. #5
    Quinto

    Re : Système "somme-produit".

    C'est vrai dans n'importe quel anneau commutatif intègre d'ailleurs, et c'est ce que l'on appelle les "formules de Viète".

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Antikhippe

    Re : Système "somme-produit".

    Citation Envoyé par Geof
    Oui. On voit ça en terminale et au-delà

    Geoffrey
    Merci pour vos réponses ! Par contre, je n'ai pas trouvé cette propriété dans le bouquin de terminale.

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  10. #7
    invite43219988

    Re : Système "somme-produit".

    On ne voit pas çà en terminale je confirme

  11. #8
    Geof

    Re : Système "somme-produit".

    On ne voit plus les complexes en terminale ? Ou alors, c'est pour ceux qui font spécialité math ?
    Je ne sais plus, ça fait quelques années que j'ai quitté le lycée... mais j'ai bien vu les nombres complexes en terminale

    Geoffrey

  12. #9
    Antikhippe

    Re : Système "somme-produit".

    Si si, on voit bien les complexes en TS mais on n'approfondit pas beaucoup... On n'a pas le temps de tout voir !

  13. #10
    Quinto

    Re : Système "somme-produit".

    Ces formules se voient en 1ere et pas en terminale...
    On voit ca sous l'intitulé possible de:
    "relation coefficients/racines d'un polynôme"

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