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Créer une fonction



  1. #1
    LicenceXP

    Créer une fonction

    Bonsoir à vous
    Ce soir je m'intéresse à comment créer une fonction qui sortirait une série de chiffre en fonction du paramètre x.

    f(0)=0
    f(1)=520
    f(2)=780
    f(3)=1020
    f(4)=
    f(x)=...

    Les nombres non, à priori, aucune relation entre eux.

    Avec f(x)=520x, je m'en sors facilement pour x=0 et x=1. Mais je manque déjà d'imagination pour x=2 et x=3... Mettre x en exposant peut-être ?

    -----


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  3. #2
    Ksilver

    Re : Créer une fonction

    Bonsoir
    Je ne comprend pas bien.

    tu veux une fonction telle que

    f(0)=0
    f(1)=520
    f(2)=780
    f(3)=1020


    et apres ?
    il y a une infinité de facon de prolongé cela !
    d'ou viennent ces nombres ?

  4. #3
    Ksilver

    Re : Créer une fonction

    en tous cas je ne sais pas si c'est ce que tu cherche, mais le polynome de plus petit degré a vérifier ca est : f(x)=10*x*(4*x^2-25*x+73)


    c'etait ca que tu voulais ?

  5. #4
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    Intéresse toi aux polynomes d'interpolation de Lagrange...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  6. #5
    LicenceXP

    Re : Créer une fonction

    Bon allons-y, plongeons XD
    Ces chiffres sortent d'un algorithme qui me présente des nombres ayant une propriété que je n'arrive pas à décrire en français facilement donc voici une explication avec un exemple :

    Le nombre 1105 peut s'écrire ainsi :
    1105=33²+4²=32²+9²=31²+12²=23² +24²
    Le nombre en question, 1105, a été sélectionné par mon algorithme car il possède au moins 4 jeux de deux nombres entiers différents qui élevés au carré et sommé donne 1105.

    Voici les premiers nombres ayant cette propriété :
    1105
    1625
    1885
    2125
    2210
    2405
    2465
    2665
    ...

    Les nombres que je vous ais donné plus haut, 0, 520, 780 sont ces mêmes nombres mais auxquels j'ai soustrait 1105 pour partir de 0 (0+1105=1105, 520+1105=1625, 780+1105=1885, ...) juste pour faciliter le problème.

    Quoi qu'il en soit, l'algorithme qui me pond ces nombres et lourd et contraignant pour mon ordinateur, j'aimerai donc mettre au point une fonction qui se baserait sur les premiers nombres sortis et qui permettrait de prédire les suivants. Par exemple j'ai les 1000 premiers nombres, et grâce à la fonction créée, j'aimerai pouvoir déjà prédire sans le moindre calcul le millionième nombre ayant cette propriété.

    J'ignore si une telle chose est possible, mais j'aimerai essayer. J'ai déjà constaté certaines choses importantes : beaucoup de ces nombres sont des multiples de 5 (mais pourquoi au juste ? ) et tous les multiples des premiers nombres sortis respectent la propriété. Ainsi, 1105 possèdent au moins 4 jeux d'entiers dont la somme des carrés donne 1105, mais c'est également vrai pour 2210 et 4420 !

    Il y a d'autres détails qui seraient longs à expliquer. mais mon plus grand soucis pour le moment est que j'ignore comment faire communiquer mon script C++ avec un logiciel de dessin graphique qui me permettrait peut-être de voir mieux certaines choses.

    Dans tous les cas l'idée de base est de se baser sur les premières données pour faire une fonction qui prédirait les suivantes.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    Je ne vois pas pourquoi une telle fonction serait facile à déterminer. La définition de ta fonction est extrêmement compliquée et est dépendante de la structure arithmétique de l'ensemble des nombres. C'est aussi compliqué a priori que de trouver une fonction qui donnerait la liste des nombres premiers.
    Les remarques que tu as faites te permettent en revanche de créer un genre de crible à condition qu'elles soient prouvées (l'histoire des multiples, etc...) C'est à ça que tu dois t'atteler... Enfin , ça dépend des travaux déjà effectués...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  10. #7
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    Pour le fait que tu ais beacoup de multiples de 5, ça n'a rien de surprenant!
    En fait, si tu travailles dans le corps , tu constateras rapidement que sur 25 sommes de carrés, 12 donnent 0, c'est à dire sont multiples de 5 dans Z. Comme tu cherches des nombres qui sont sommes de deux carrés de 4 manières différentes, la probabilité qu'un nombre quelconque le soit sachant qu'il est multiple de 5 est grandement augmenté. Je dirais que tu devrais avoir une proportion de multiples de 5 d'environ 93 %.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #8
    LicenceXP

    Re : Créer une fonction

    Vous pensez donc qu'il n'est possible de créer une fonction comme je le souhaite ? Où en tout cas si c'est possible, manifestement en dehors de mes capacités
    Une fonction pour décrire les nombres premiers ? A quoi ça ressemble ?

  12. #9
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    Personne ne l'a trouvée...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    Ksilver

    Re : Créer une fonction

    Sauf erreur, on a au moins deux fonctions définit par des expressions qui decrivent l'ensemble des nombre premier : mais ces expressions sont complement inutilisable pour trouver des nombre premier : le temps de calcule devien collossal des qu'on cherche des nombres premier supérieur a 30 ou 40 ^^

    (NB : j'essai de retrouver la réference...)

  14. #11
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    J'ai trouvé ça sur wikipédia:
    (k+2)×[1−(wz+h+j−q)²−(2n+p+q+z−e)²−(a ²y²−y²+1−x²)² −(e³(e+2)(a+1)²+1−o²)²−(16(k+1 )³(k+2)(n+1)²+1−f²)²
    −(((a+u²(u²−a))²−1)(n+4dy)²+1− (x+cu)²)²−(ai+k+1−l−i)² −((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)²−(16r² y4(a²−1)+1−u²)²
    −(p−m+l(a−n−1)+b(2an+2a−n²−2n− 2))²−(z−pm+pla−p²l+t(2ap−p²−1) )² −(q−x+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p²−2p− 2))²−(a²l²−l²+1−m²)²−(n+l+v−y) ²]

    Il paraît qu'avec ce polynome, ils sont parvenus à trouver le nombre premier 2. Chapeau !!!
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  15. #12
    IceDL

    Re : Créer une fonction

    Citation Envoyé par LicenceXP Voir le message
    Vous pensez donc qu'il n'est possible de créer une fonction comme je le souhaite ?
    Salut,

    Tu pourrais peut-être regarder ton problème sous un angle un peu différent. Par exemple, considère la fonction g de N* dans N* qui à un entier naturel non nul associe le nombre de décompositions distinctes (et sans tenir compte de l'ordre) en somme de 2 carrés.

    A priori, on doit avoir g(1)=1 et tu dois pouvoir prouver que pour p et q premiers entre eux g(pq)=g(p)g(q) (ce qui pourrait expliquer bien des choses sur l'histoire de multiples). Auquel cas cette fonction est arithmétiquement multiplicative et il suffit de la connaître sur l'ensemble des nombres premiers pour la connaître entièrement...

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  17. #13
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    Si ce que tu dis est vrai, il faut aussi la connaître sur l'ensemble des puissances des nombres premiers...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  18. #14
    Ksilver

    Re : Créer une fonction

    donc : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier
    pour les formules qui donnent des nombres premier... (il y a le polynome, mais il y en a d'autre qui donne directement le n-iemme nb premier... pas forcement rapidement aussi )




    Sinon, je visualise mal pourquoi g serait multiplicative ?

  19. #15
    IceDL

    Re : Créer une fonction

    Citation Envoyé par doryphore Voir le message
    Si ce que tu dis est vrai, il faut aussi la connaître sur l'ensemble des puissances des nombres premiers...
    C'est exact, ça complique un peu en effet. Il faudrait regarder de plus près.

    Citation Envoyé par Ksilver
    Sinon, je visualise mal pourquoi g serait multiplicative ?
    Je suis pas tout à fait sûr mais on doit pouvoir partir du fait que :

    Si et , alors



    Ensuite, il faut regarder si l'on peut faire l'opération dans le sens inverse...

  20. #16
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    J'ai plutôt chercher un contre-exemple. Ca a l'air multiplicatif, mais c'est essentiellement parce qu'il se passe réellement quelque chose quand on multiplie par 2, et il y a peut être d'autres propriétés intéressantes.
    En revanche, j'ai l'impression que g(13) x g(17) est différent de g(13 x 17), mais je vous laisse confirmer:
    Je trouve g(13) x g(17) =1 alors que g(13x17)=2
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  21. #17
    IceDL

    Re : Créer une fonction

    Citation Envoyé par doryphore Voir le message
    J'ai plutôt chercher un contre-exemple. Ca a l'air multiplicatif, mais c'est essentiellement parce qu'il se passe réellement quelque chose quand on multiplie par 2, et il y a peut être d'autres propriétés intéressantes.
    En revanche, j'ai l'impression que g(13) x g(17) est différent de g(13 x 17), mais je vous laisse confirmer:
    Je trouve g(13) x g(17) =1 alors que g(13x17)=2
    Oui car 13*17=221=10²+11²=14²+5². Je suis d'accord avec toi et je n'ai pas pris la bonne fonction g.En revanche, j'ai trouvé une référence de wikipedia où la bonne fonction g est explicitée (voir dans les exemples le dernier exemple) http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multiplicative

    Voir aussi http://perso.orange.fr/yoda.guillaume/Prof/SomCaQte.htm

    où il y a quelques explications supplémentaires et une formule pour g.

  22. #18
    danyvio

    Re : Créer une fonction

    Citation Envoyé par doryphore Voir le message
    J'ai trouvé ça sur wikipédia:
    (k+2)×[1−(wz+h+j−q)²−(2n+p+q+z−e)²−(a ²y²−y²+1−x²)² −(e³(e+2)(a+1)²+1−o²)²−(16(k+1 )³(k+2)(n+1)²+1−f²)²
    −(((a+u²(u²−a))²−1)(n+4dy)²+1− (x+cu)²)²−(ai+k+1−l−i)² −((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)²−(16r² y4(a²−1)+1−u²)²
    −(p−m+l(a−n−1)+b(2an+2a−n²−2n− 2))²−(z−pm+pla−p²l+t(2ap−p²−1) )² −(q−x+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p²−2p− 2))²−(a²l²−l²+1−m²)²−(n+l+v−y) ²]

    Il paraît qu'avec ce polynome, ils sont parvenus à trouver le nombre premier 2. Chapeau !!!
    C'est (peut-être) l'application pour les nombres premiers du théorème de Mattiassevitch (orthograf non garantie qui permet de trouver toute série dénombrable de nombres positifs. Simplement, le résultat, quand on fait varier les variables, on obtient soit un nombre négatif (à ignorer) soit un nombre de la série cherchée, sans omission ni répétition. C'est beau, admirable, mais hélas parfaitement inutile, sauf pour apprécier le génie du mathématicien. Je n'ai personnellement jamais trouvé autre chose qu'un nombre négatif
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  24. #19
    doryphore

    Re : Créer une fonction

    Le fait d'avoir cherché un nombre premier avec ce polynome te vaut mon admiration !!!
    Ce théorème de Mattiassevitch a l'air particulièrement puissant s'il peut produire de tels résultats !
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  25. #20
    homotopie

    Re : Créer une fonction

    Citation Envoyé par LicenceXP Voir le message
    Le nombre 1105 peut s'écrire ainsi :
    1105=33²+4²=32²+9²=31²+12²=23² +24²
    Le nombre en question, 1105, a été sélectionné par mon algorithme car il possède au moins 4 jeux de deux nombres entiers différents qui élevés au carré et sommé donne 1105.

    Voici les premiers nombres ayant cette propriété :
    1105
    1625
    1885
    2125
    2210
    2405
    2465
    2665
    ...
    1105=5x13x17
    5=2²+1² 13=3²+2² 17=4²+1²
    ou encore 5=(2+i)(2-i) 13=(3+2i)(3-2i) 17=(4+i)(4-i)
    1105=(2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)(4+i)(4-i) ce qui donne 4 manières de l'écrire en somme de carrés (ce qui revient à l'écrire sous la forme zxconj(z))
    1105=(2+i)(3+2i)(4+i)xconj=(2+ i)(10+11i)xconj=(9+32i)xconj=9 ²+32²
    1105=(2+i)(3-2i)(4-i)xconj=(2+i)(10-11i)xconj=(31-12i)xconj=31²+12²
    1105=(2+i)(3+2i)(4-i)xconj=(2+i)(14+5i)xconj=(23+ 24i)xconj=23²+24²
    1105=(2+i)(3-2i)(4+i)xconj=(2+i)(14-5i)xconj=(33+4i)xconj=33²+4²

    2210=2x1105=(1+i)(1-i)x1105
    (1+i)(9+32i)=-23+41i => 23²+41²=2210
    (1+i)(31-12i)=43+19i => 43²+19²=2210
    (1+i)(23+24i)=-1+47i => 1²+47²=2210
    (1+i)(33+4i)=29+37i => 29²+37²=2210

    les décompositions en somme de deux carrés de 4420 sont celles de 1105 multipliées par 2.

    Peut-on en trouver d'autres ? non les 1+i, 2+i, 3+2i, 4+i sont des nombres premiers chez les entiers de Gauss (m+in ; m et n entiers relatifs)

    Les nombres pouvant s'écrire sous sommes de 4 carrés contiennent soit 3 facteurs premiers distincts type m+in avec m²+n²=entier naturel premier impair* (comme 1105)
    ou 2 distincts avec un au cube 1625=13x5^3 ou les deux au carré (4225=5²x13² est le plus petit)
    ou un facteur premier à la puissance 6 (5^6=15625) si on accepte m²+0² (sinon puissance 7 ou encore puissance 6 mais noùmbre multiple de 2).
    * : ceci équivaut à un facteur premier (chez les entiers naturels) congru à 1 modulo 4
    1105=5x13x17
    1625=5^3x13
    1885=5x13x29
    2125=5^3x17
    2210=(5x13x17)x2
    2405=5x13x37
    2465=5x17x29
    2665=5x13x41

    La question concernant la muliplicité par rapport au nombre 5 a sa réponse. Les plus petits sont multiples de 5 car 5 est nettement plus petit que les suivants
    Le plus petit non multiple de 5 : 13x17x29=6409

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