inversion, construction géométrique

[invite5c6c2cbf]

Bonjour,

J'aurais une question sur l'inversion et plus particulierement sur la construction géométrique.
En fait, je me demandais comment on pouvait construire l'image d'une figure par inversion (de puissance 1 donc par rapport au cercle unité) en utilisant qu'une regle et un compas.
Par exemple, si je veux construire l'image par inversion d'un cercle ne passant pas par O, je sais qu'un point A sur ce cercle sera par inversion sur la demi droite [OA) et que si je note B cette image, on aura OB=1/OA. Mais sans utiliser le calcul explicite de cette distance, comment peut-on construire l'image de ce point A et donc l'image du cercle par rapport au cercle d'inversion.

Merci pour vos reponses.
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[invite116650d7]

il vaut mieux déjà utiliser le produit : OA*OB=1. C'est plus simple à manipuler je pense.
De mémoire, je me souviens qu'il y a une histoire de cocyclicité des images, ou un truc dans le genre.
J'ai fait un DM là dessus au début d'année, mais je ne l'ai pas chez moi, et je crains que ma mémoire me fasse défaut sur ce coup là.

[inviteb47fe896]

On peut utiliser les relations métriques du triangle rectangle et notamment celle qui stipule que : " Dans un triangle rectangle un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse. " La construction reste à trouver.

[invitea3eb043e]

On peut utiliser les relations métriques du triangle rectangle et notamment celle qui stipule que : " Dans un triangle rectangle un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse. " La construction reste à trouver.

Ca paraît assez astucieux en effet. Si on connaît OA et qu'on cherche OB tel que OA.OB=µ=OH², et que OA<OH, on trace le triangle OAH rectangle en A puis le triangle OHB rectangle en H.
Si OA>OH, on fait l'inverse.
Si enfin le produit d'inversion est négatif, on fait pareil et on retourne OB.
Assez facile à la règle et au compas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,
en partant du problème posé, on choisit un point M sur le cercle unité centré en O quelconque.
On place le point intersection I de la médiatrice de [AM] et la perpendiculaire à OM passant par M.
Le point B est le second point d'intersection de (OA) et du cercle C de centre I passant par A.
En effet, par contruction :
i) M est sur le cercle C
ii) (OM) est la tangente en ce point
Puissance de O par rapport au cercle C :
OA.OB=OM²=1