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Les Matrices de Jordan



  1. #1
    Calintzz

    Les Matrices de Jordan


    ------

    Bonsoir,

    Je suis en L3 mathématiques et cette année nous avons vu la réduction de Jordan. Pour répondre à plusieurs exercices nous avons utilisés (étudiants et professeurs) un resultat qui parait "logique" à savoir que les différentes matrices de Jordan ne sont pas semblables entre elles.

    Exemple:

    diag(J2,J2) non semblable à diag(J2,J1,J1).

    Ainsi on pouvait en déduire des choses comme A semblable à B si et seulement si J(A)=J(B).

    Ceci n'avait a priori rien de choquant puisque qu'a chaque fois on trouve une unique matrice J pour un endomorphisme.

    Cependant en y réfléchissant je me suis rendu compte que ce n'était pas forcement si trivial que ça quand les dimensions étaient grandes.


    Prenons le cas plus simple ou les endomorphismes sont nilpotent.

    En effet l'indice de nilpotence des endomorphismes et la dimension du noyau de l'endomorphisme ne caractérise pas entièrement la décomposition selon moi.

    Exemple:

    dim(E) = 20
    Indice de nilpotence de f = 6
    dim(Ker(f)) = 5

    J(f) = diag(J6,J6,J4,J3,J1)
    J(f) = diag(J6,J5,J5,J3,J1)

    etc...

    Ma question est donc la suivante:
    Qu'est ce qui fait que les matrices de Jordan sont soient égales soient différentes mais jamais semblables?

    Merci des vos réponses.

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Les Matrices de Jordan

    Bonjour et bonne année,
    vu ton niveau il me semble que ce simple rappel devrait suffir :
    on a pour tout f (remplacé régulièrement par ) une suite d'inclusion stricte :
    kerf , ker(f²) , ... , ker() les suivants étant égaux au dernier.
    f nilpotente signifie que ker()=e.v. au "complet".
    dans ce cas n est le degré de nilpotence ; dim(ker())=dim(e.v.)
    mais cela ne donne pas de renseignements (sauf (très) petite dimension) que partiels sur la suite précédemment énoncée.
    Maintenant, il n'est pas très difficle de montrer qu'il y a relation univoque entre dim(ker(f)) , ..., dim(ker()) et la matrice de Jordan (dim(ker(f))) étant égal au nombre de blocs). D'où le résultat rappelé dans ton post.

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