Bonsoir,
Je suis en L3 mathématiques et cette année nous avons vu la réduction de Jordan. Pour répondre à plusieurs exercices nous avons utilisés (étudiants et professeurs) un resultat qui parait "logique" à savoir que les différentes matrices de Jordan ne sont pas semblables entre elles.
Exemple:
diag(J2,J2) non semblable à diag(J2,J1,J1).
Ainsi on pouvait en déduire des choses comme A semblable à B si et seulement si J(A)=J(B).
Ceci n'avait a priori rien de choquant puisque qu'a chaque fois on trouve une unique matrice J pour un endomorphisme.
Cependant en y réfléchissant je me suis rendu compte que ce n'était pas forcement si trivial que ça quand les dimensions étaient grandes.
Prenons le cas plus simple ou les endomorphismes sont nilpotent.
En effet l'indice de nilpotence des endomorphismes et la dimension du noyau de l'endomorphisme ne caractérise pas entièrement la décomposition selon moi.
Exemple:
dim(E) = 20
Indice de nilpotence de f = 6
dim(Ker(f)) = 5
J(f) = diag(J6,J6,J4,J3,J1)
J(f) = diag(J6,J5,J5,J3,J1)
etc...
Ma question est donc la suivante: Qu'est ce qui fait que les matrices de Jordan sont soient égales soient différentes mais jamais semblables?
Merci des vos réponses.
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