Caractérisation séquentielle de l'intérieur ?

[Gpadide]

Bonjour, existe t il une telle caractérisation ?
Dans un bouquin j'ai vu ca :
on veut montrer qu'un ensemble est d'intérieur vide. On choisit pour cela un point a de l'ensemble. On construit une suite d'éléments qui ne sont pas dans l'ensemble et qui convergent vers a. En quoi cela montre t il que l'ensemble est d'intérieur vide ?
Merci
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[invite6de5f0ac]

on veut montrer qu'un ensemble est d'intérieur vide. On choisit pour cela un point a de l'ensemble. On construit une suite d'éléments qui ne sont pas dans l'ensemble et qui convergent vers a. En quoi cela montre t il que l'ensemble est d'intérieur vide ?

Bonsoir,

Parce que ça montre que ton ensemble est adhérent à son complémentaire. Après un peu de manip' avec les adhérences, les intérieurs et les complémentaires.

-- françois

[Gpadide]

Ok je comprends mieux grace a ton indication mais je ne comprends toujours pas en quoi le fait de montrer que l'ensemble est adhérent à son complémentaire permet de conclure que l'intérieur est vide...

[invite6de5f0ac]

Ok je comprends mieux grace a ton indication mais je ne comprends toujours pas en quoi le fait de montrer que l'ensemble est adhérent à son complémentaire permet de conclure que l'intérieur est vide...

Alors parce que. Je note adh et int l'adhérence et l'intérieur respectivement, et CA le complémentaire d'un ensemble A.
On a toujours:

int(A) = C(adh(CA))

Si on réussit à montrer que A est contenu dans adh(CA), ça veut dire que C(adh(CA)) est contenu dans CA. Donc que l'intérieur de A est contenu dans CA. Ce qui est plutôt ennuyeux pour un intérieur non vide... (je rappelle que les points de int(A) sont aussi a fortiori points de A).

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

On a . A partir de là, tu peux aboutir à un truc du style . Pas cool, sachant que ...

EDIT : grillé par fderwelt

[invite35452583]

on veut montrer qu'un ensemble est d'intérieur vide. On choisit pour cela un point a de l'ensemble. On construit une suite d'éléments qui ne sont pas dans l'ensemble et qui convergent vers a. En quoi cela montre t il que l'ensemble est d'intérieur vide ?
Merci

Bonjour,
perso, je préfère la "chose" plus simplement :
int(A) est
1) un ouvert
2) inclus dans A.
Conséquence de 1) : une suite qui converge vers un élément a' de int(A) a tous ses éléments, à partir d'un certain rang, qui sont dans int(A).
Conséquence de 2) : à partir de ce même rang les éléments de cette même suite sont dans A.

Par contraposée, si une suite d'éléments n'appartenant pas à A converge vers a, a n'est pas dans int(A).

[invite6de5f0ac]

Bonjour,
perso, je préfère la "chose" plus simplement :
int(A) est
1) un ouvert
2) inclus dans A.
Conséquence de 1) : une suite qui converge vers un élément a' de int(A) a tous ses éléments, à partir d'un certain rang, qui sont dans int(A).
Conséquence de 2) : à partir de ce même rang les éléments de cette même suite sont dans A.

Par contraposée, si une suite d'éléments n'appartenant pas à A converge vers a, a n'est pas dans int(A).

Bonjour,

C'est effectivement plus joli et moins laborieux que les manip's formelles entre int, adh et C...

-- françois

[Gwyddon]

Effectivement c'est plus joli, et surtout plus naturel en définitive, merci homotopie