Bonjour, pourriez vous me dire si les exos de partiels de math (L1 eco) que j'ai fait ci dessous sont justes ou sinon comment procèder svp car je ne suis pas tres fort en math? Voici les 2 premiers exos:
Exercice 1: Logique
a) Soit l'assertion P = "Si la vitesse est limitée, alors les voitures vont lentement ou elles sont prioritaires"
1° Nier cette assertion.
2° Donner la contraposée de cette implication.
b) Est-ce que la proposition a∧b⇒a∨b est une tautologie ( a et b étant des propositions fixées).
Que représente en terme d'ensembles cette proposition?
Réponses
a) 1° Soit p : la vitesse est limitée
q : les voitures vont lentement
t : elles sont prioritaires
donc "Si la vitesse est limitée, alors les voitures vont lentement ou elles sont prioritaires" = p ⇒ (q ∨ t)
alors la négation = ¬ (p ⇒ (q ∨ t)) = p ∧ ¬ (q ∨ t) = p ∧ (¬ q ∧ ¬ t)
2° Contraposée: ¬ (q ∨ t) ⇒ ¬ p = (¬ q ∧ ¬ t) ⇒ ¬ p
b) Ici ça se complique, je voudrais savoir , a∧b⇒a∨b est elle égale à (a∧b)⇒(a∨b) ?
je fais un tableau:
donc c'est une tautologie.
Pour la dernière question "Que représente en terme d'ensembles cette proposition ?", je ne vois pas trop ce qu'il faut faire... Il faut dire que A∧B est inclus dans AUB ?
Exercice 2: Récurrence
Soit Uk= k2+5k-1 et
On pose P(x)= 1/3.(x+1).(x2+8x-3)
Montrer par récurrence que P(x) = Sn
Réponses
a) On montre que P(0)=U0=S0
P(0)= -1
S0= -1 donc vrai
b) On admet que P(n) vrai, on démontre que P(n+1) vrai
P(n+1)= 1/3.(n+2).((n+1)2+8n+8 -3)
= 1/3 (n+2).(n2+1+2n+8n+5)
= 1/3 (n3+12n2+26n+12)
donc:
= 1/3 (n+1).(n2+8n-3) + (n+1)2+5(n+1)-1
= 1/3 (n3+8n2-3n+n2+8n-3) + n2+5+7n
= 1/3 (n3+12n2+26n+12) = P(n+1)
Donc on retrouve les mêmes résultats, P(n) vrai.
Je suis en train d'essayer de faire les 4 autres exos.
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