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0^0



  1. #1
    invite43219988

    0^0


    ------

    Oui, j'ai lu dans le post sur les frères Bogdanov que 0^0 reste indéterminé et que certains pensent que c'est égal à 0 comme d'autres pensent que c'est égal à 1.
    Or, l'année prochaine je rentre en PCSI je m'interesse donc un peu au programme et je commence à lire quelques cours de mathématiques au format PDF. Et quelle ne fut pas ma surprise lorsque je tombai sur la chose suivante :
    §4- Fonctions puissances :

    - Pour tout xER , pour a>0 , on note ax = exp(x.ln(a))
    - 0^0=1 et pour tout x>0, 0^x=0
    Donc j'aimerai savoir ce que vous en pensez... Est-ce que c'est encore un de ces résultats que l'éducation nationale se plait à nous faire avaler pour mieux le nier dans les études de niveau supérieur ? Ou est-ce simplement une erreur d'inattention de la part d'un professeur fatigué ?

    Voici l'URL : http://www.prepasciences.com/maths/s..._fonctions.pdf

    C'est à la fin de la page 2/5

    -----

  2. #2
    invite43219988

    Re : 0^0

    D'ailleurs ma calculette (TI 89) me donne 1 comme résultat.
    Pas d'undef ni rien...

  3. #3
    Damon

    Re : 0^0

    Salut,

    je suis également intrigué par cela, après vérification, la calculatrice windows donne :

    00=1

    Damon
    Un EeePc ça change la vie !

  4. #4
    doryphore

    Smile Re : 0^0

    Voilà mon interprétation:

    En prépa, tu vas étudier la fonction x^y dans la même optique que a^y.

    C'est à dire que l'approche qui sera faite de 0^0 est celle qui consiste à considérer y->x^0.

    Comme pour tout x in R*, x^0=1 , tu vas prolonger par continuité ( le prolongement par continuité est une partie importante du prog. de sup) et tu vas dire de manière très juste que l'on peut choisir 0^0=1, pour avoir une fonction continue.

    Tu remarqueras qu'il s'agit d'un choix conscient répondant à un but précis.
    A aucun moment, tu ne dis vraiment que 0^0=1.

    Cf: http://perso.wanadoo.fr/gilles.costa...chiers/exp.pdf

    Il se trouve donc que le choix 0^0=1 colle bien avec le prog. de math.

    En revanche, si tu considères l'application y->0^y, cette fois-ci, on a pr tt y in R*+, 0^y=0,
    0^y = lim {x->0+} e^(y ln x) = lim { X->-infinity} e^(yX) = 0,
    et le même travail de prolongement par continuité conduirait à poser cette fois-ci 0^0=0 par continuité à droite.

    Tout ça pour dire que concernant la fonction (x,y)-> x^y, on ne peut rien dire car si on cherche à la prolonger par continuité suivant 2 directions différentes en (0,0), on n'obtient pas le même nombre.

    Donner une valeur fixe à 0^0 pour des raisons analytiques n'a aucun sens.

    On peut trouver un intérêt pour le binôme de Newton, comme tu l'as sans doute vu et les mathématiciens ont le droit de juger utile de choisir conventionnellement que 0^0=1.

    Mais si, on fait ce choix, on s'interdirait arbitrairement de pouvoir rendre continue la fonction y->0^y en 0.

    Ca devient un choix pragmatique. Quelle convention est la meilleure?

    Par compte, en tant que mathématicien, ayant conscience du statut de 0^0, on peut s'étonner de voir que certaines personnes éclairées puissent consciencieusement se servir de l'argument 0^0=1 pour appuyer une certaine antériorité des mathématiques sur la physique.

    Mais, heureusement, on dirait que cet argument commence àse faire oublier dans le discours des Bogdanoff.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    doryphore

    Question Re : 0^0

    Pour les instruments numériques, il ne faut pas être surpris, les valeurs indéterminées sont évitées autant que possible.

    Essayer avec votre calculatrice de calculer lim en 0 de 0^x voir ce que ça donne.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  7. #6
    Damon

    Re : 0^0

    Salut,

    merci pour ces explications, je comprends mieux où se situe le problème maintenant (mon derniers cours de math remontant à 20 ans).

    Par contre je suis intrigué par ceci (dans le pdf que tu donnes) :

    Rappelons que la fonction ln est une bijection de R*+ dans R et que e est le nombre dont le logarithme népérien est égal à 1. (ln e = 1 et e =~2.718)

    Qu'en est-t-il de la fonction en 0, ne faudrait-il pas plutôt considérer la fonction en R0*+ ?

    Damon
    Qui tente de se rappeler de ses cours de math
    Un EeePc ça change la vie !

  8. #7
    ghislaine

    Talking Re : 0^0

    Bonjour,

    Matlab affirme que 0^0=1, et que lim 0^x quand x tend vers 0 = 0
    C'est beau l'informatique, ca a reponse a tout...
    Mais bon, tout est question de convention, l'un et l'autre sont justes et faux a la fois, donc il faut faire un choix, Matlab a choisit les 2!

  9. #8
    doryphore

    Smile Re : 0^0

    La limite de la fonction logarithme népérien en 0+ est égale à - infini.

    J'ai donc fait un changement de variable X=ln x pour ma limite à droite en 0 (désignation équivalente de limite en 0+, quand on est sur R).

    Si le document est avare de précisions concernant la fonction ln, c'est parce que elle est considérée comme acquise en début de bac+1.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  10. #9
    invite43219988

    Re : 0^0

    Merci beaucoup pour ces réponses qui m'ont éclairé.

    Qu'en est-t-il de la fonction en 0, ne faudrait-il pas plutôt considérer la fonction en R0*+ ?
    Si tu parles de la fonction ln, R*+ signifie : R positif et différent de 0 (l'étoile). Donc la question ne se pose pas en 0 (et lim(x->0) ln(x) =-l'infini)

  11. #10
    Damon

    Re : 0^0

    Si tu parles de la fonction ln, R*+ signifie : R positif et différent de 0 (l'étoile). Donc la question ne se pose pas en 0 (et lim(x->0) ln(x) =-l'infini)
    Ok, j'étais habitué à unen notation différente, d'où ma question.

    En revanche, si tu considères l'application y->0^y, cette fois-ci, on a pr tt y in R*+, 0^y=0,
    0^y = lim {x->0+} e^(y ln x) = lim { X->-infinity} e^(yX) = 0,
    et le même travail de prolongement par continuité conduirait à poser cette fois-ci 0^0=0 par continuité à droite.
    La continuité faisant sortir du domaine de définition de la fonction est-il erroné de considérer cette continuité comme non valide ?

    Damon
    Un EeePc ça change la vie !

  12. #11
    king_ae

    Re : 0^0

    0^0=1 vient du fait que xln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0
    car si on prend la fonction (x^x) on a :

    x^x=exp(ln(x^x))=exp(xln(x)) tend vers exp(0)=1

  13. #12
    Quinto

    Re : 0^0

    Pas la peine de se casser le tronc pour ca, c'est une convention.

    soit f la fonction de R² dans R définie par f(x,y)=x^y

    On va montrer que la fonction f n'est pas continue en 0.
    f(0,y)=0^y et tend vers 0 lorsque y tend vers 0
    f(x,0)=1 et tend vers 1 lorsque x tend vers 0.

    La fonction n'est donc pas continue en 0, et on ne peut donc pas la prolonger par continuité en 0, et donc il n'y a pas de réponse plus vraie qu'une autre.
    Mais par convention on pose parfois que 0^0=1.

    Message édité: je reprend la réponse de doryphore qui m'avait échappé, désolé.

  14. #13
    doryphore

    Smile Re : 0^0

    La continuité faisant sortir du domaine de définition de la fonction est-il erroné de considérer cette continuité comme non valide ?

    Le prolongement par continuité consiste justement à regarder si la fonction qu'on étudie est assez régulière aux limites de son ensemble de définition pour se permettre en choisissant une valeur adéquate d'augmenter son domaine de validité.

    Exemple issu du problème posé, f: x->x^0 vaut 1 sur son domaine de définition R*.

    Etant donnée que lim {x->0+} f(x) = lim {x->0-} f(x) = 1.

    En définissant f sur R et en posant f(0)=1, on obtient une fonction tout ce qu'il y a de régulier. Ce qui légitime cette opération d'un point de vue mathématique.

    0^0=1 vient du fait que xln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0
    car si on prend la fonction (x^x) on a :

    x^x=exp(ln(x^x))=exp(xln(x)) tend vers exp(0)=1
    C'est un joli calcul de limite , que penses-tu de celui-ci ?
    0^0=1/e,
    lim {x->0} exp(-1/x)^x = 1/e.
    Or, lim {x->0} exp(-1/x)= lim {x->0} x = 0.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  15. #14
    prgasp77

    Question Re : 0^0

    Dites-moi,
    Comme 00 = 01-1 = 01/01 = 0/0
    Comme 00 = 0-0 = 1/00 = 1
    --Yankel Scialom

  16. #15
    invite43219988

    Re : 0^0

    Dites-moi,
    Comme 00 =01-1=01/01=0/0
    Comme 00=0-0=1/00=1
    Ouaille
    Comprends pas c'est une question ? 0/0 n'existe pas et on ne sait pas si 00 =1, donc tes deux équations sont fausses.

  17. #16
    invite43219988

    Re : 0^0

    Par contre, c'est peut-être une bonne démonstration que 00 n'existe pas non ?

  18. #17
    Quinto

    Re : 0^0

    Non, si tu veux je te montre que 0=1 dans la même gnere:
    0²=0^4/0²
    mais on sait que 0^4=0=0²
    on a donc 0²=0²/0²=1 puisque comme chacun sait x/x=1 est prolongeable en 0.

    donc 0²=1 mais 0²=0 donc 0=1

    Pourquoi s'enteter avec ce truc??
    Avec Doryphore, on a montré la non possibilité de prolonger par continuité la fonction (x,y)->x^y en 0, ca suffit amplement comme démonstration de non existance de 0^0
    Dernière modification par Quinto ; 19/07/2004 à 10h16.

  19. #18
    Quinto

    Re : 0^0

    On a JAMAIS JAMAIS JAMAIS JAMAIS ...... JAMAIS le droit de diviser par 0 de toute facon, alors lorsqu'on le fait, il y a problème...

    (sauf cas exceptionnel de l'anneau trivial {0} qui n'arrive jamais puisqu'il est réduit à un seul élement et ce qui n'a donc aucun interet)

  20. #19
    invite43219988

    Re : 0^0

    Donc c'est exactement ce que je viens de dire quoi...
    Du moment que tu peux transformer 00 par une fraction ou 0 est au dénominateur (ce qui est impossible) alors 00 n'existe pas.

  21. #20
    Quinto

    Re : 0^0

    Non, justement, mettre 0 au dénominateur n'a aucun sens...

    je t'ai dit, avec ton raisonnement:
    0²=0^4/0² n'existerait pas et pourtant 0² existe bien
    Ce qui n'existe pas c'est de diviser par 0.
    La division n'est pas une opération, ca n'existe pas.
    lorsque l'on fait a/b avec b non nul dans R, c'est que l'on multiplie a par l'inverse de b, et c'est un abus d'écriture, on devrait marquer a*b^(-1) ou dans une structure commutative a/b est correcte.
    Quel est l'inverse de 0 dans R? Il n'y en a pas, donc multiplier un nombre par un nombre qui n'existe pas, c'est difficile..

  22. #21
    invite43219988

    Re : 0^0

    je t'ai dit, avec ton raisonnement:
    0²=0^4/0² n'existerait pas et pourtant 0² existe bien
    Ah oui c'est vrai.

  23. #22
    prgasp77

    Re : 0^0

    Ma seconde equation est fausse, mais impossible de la modifier maintenant.
    En revanche, la premiere est 'juste' dans le sens ou 00 = 0/0. En clair que ce n'est pas un nombre. En revanche on peut calculer lim(p->oo) 0p=0 et lim(q->oo) q0=1 d'ou 00 est une forme indeterminee. Juste ?
    --Yankel Scialom

  24. #23
    nanor76

    Re : 0^0

    les mecs n'oubliez pas quand meme qu'une règle de base des maths dit qu'on peut rien diviser par zéro....

  25. #24
    prgasp77

    Re : 0^0

    merci bien de nous le rapeler ...
    Autre chose, ton resonement sur 02 n'est pas corect, car si 0²=04/02, alors 04/02=04/04/02 ... et cela sans fin. Alors qu'avec la fausse egalite (disont equivalence) 00=01/0-1, on s'y retrouve. Comme 0/0 est absurde, 00 l'est aussi.
    Dernière modification par prgasp77 ; 22/07/2004 à 00h48.
    --Yankel Scialom

  26. #25
    nanor76

    Re : 0^0

    une réponse un peu naive:

    0^0 = e^(ln(0^0)) = e^(0 x ln0)
    or ln0 n'existe pas
    donc 0^0 n'existe pas...
    c'était ca la question de départ?

  27. #26
    invite43219988

    Re : 0^0

    Autre chose, ton resonement sur 02 n'est pas corect, car si 0²=04/02, alors 04/02=04/04/02 ... et cela sans fin. Alors qu'avec la fausse egalite (disont equivalence) 00=01/0-1, on s'y retrouve. Comme 0/0 est absurde, 00 l'est aussi.
    Non non, il utilise le même raisonnement que toi.
    Tu dis : 00 =01-1 =01 /01
    Dans ce cas on pourrait aussi dire :
    02 =04-2 =04/02

    Enfin bon, on n'a pas le droit de diviser par 0 mais la formule utilisée précédemment n'est pas valable pour xn (n E N) avec x=0.


    0^0 = e^(ln(0^0)) = e^(0 x ln0)
    or ln0 n'existe pas
    donc 0^0 n'existe pas...
    c'était ca la question de départ?
    Euh oui mais dans ce cas on peut dire :
    0=eln(0)
    Donc 0 n'existe pas
    En fait, on n'a tout simplement le droit de transformer un nombre x en l'expression eln(x) que si x est supérieur ou égal à 1.
    La question de départ, c'était de savoir pourquoi je vais apprendre l'année prochaine que 00 =1 alors qu'on ne sait même pas si 00 existe mais apparemment, c'est en prolongant la continuité de la fonction x0 en 0.


    Sinon effectivement le binome de Newton donne 00 =1.

  28. #27
    Meumeul

    Re : 0^0

    On a le droit de transformer x en eln(x) si et seulement si x > 0

  29. #28
    king_ae

    Re : 0^0

    Citation Envoyé par Meumeul
    On a le droit de transformer x en eln(x) si et seulement si x > 0
    on f ensuite tendre x vers O+
    Le sot ne goûte pas plus la volupté que l'homme enrhumé n'apprécie les parfums de la rose Avicene

  30. #29
    invite43219988

    Re : 0^0

    Oui c'est pour x>0 désolé.

  31. #30
    Quinto

    Re : 0^0

    A partir du moment où on fait exprès de ne pas comprendre que diviser par 0 n'a absolument aucun sens et où on ne lit pas les explications données maintes fois sur la non continuité possible de x^y, le débat peut continueur longtemps ainsi.

    0^0 n'existe pas parce que ca ferait exp(0ln(0)) ou parce que 0/0 n'existe pas n'ont absolument aucun sens non plus,ce n'est pas la peine de s'obstiner à penser que si...