0^0

[invitebb921944]

Oui, j'ai lu dans le post sur les frères Bogdanov que 0^0 reste indéterminé et que certains pensent que c'est égal à 0 comme d'autres pensent que c'est égal à 1.
Or, l'année prochaine je rentre en PCSI je m'interesse donc un peu au programme et je commence à lire quelques cours de mathématiques au format PDF. Et quelle ne fut pas ma surprise lorsque je tombai sur la chose suivante :

§4- Fonctions puissances :

- Pour tout xER , pour a>0 , on note ax = exp(x.ln(a))
- 0^0=1 et pour tout x>0, 0^x=0

Donc j'aimerai savoir ce que vous en pensez... Est-ce que c'est encore un de ces résultats que l'éducation nationale se plait à nous faire avaler pour mieux le nier dans les études de niveau supérieur ? Ou est-ce simplement une erreur d'inattention de la part d'un professeur fatigué ?

Voici l'URL : http://www.prepasciences.com/maths/s..._fonctions.pdf

C'est à la fin de la page 2/5
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[invitebb921944]

D'ailleurs ma calculette (TI 89) me donne 1 comme résultat.
Pas d'undef ni rien...

[Damon]

Salut,

je suis également intrigué par cela, après vérification, la calculatrice windows donne :

0⁰=1

Damon

[doryphore]

Voilà mon interprétation:

En prépa, tu vas étudier la fonction x^y dans la même optique que a^y.

C'est à dire que l'approche qui sera faite de 0^0 est celle qui consiste à considérer y->x^0.

Comme pour tout x in R*, x^0=1 , tu vas prolonger par continuité ( le prolongement par continuité est une partie importante du prog. de sup) et tu vas dire de manière très juste que l'on peut choisir 0^0=1, pour avoir une fonction continue.

Tu remarqueras qu'il s'agit d'un choix conscient répondant à un but précis.
A aucun moment, tu ne dis vraiment que 0^0=1.

Cf: http://perso.wanadoo.fr/gilles.costa...chiers/exp.pdf

Il se trouve donc que le choix 0^0=1 colle bien avec le prog. de math.

En revanche, si tu considères l'application y->0^y, cette fois-ci, on a pr tt y in R*+, 0^y=0,
0^y = lim {x->0+} e^(y ln x) = lim { X->-infinity} e^(yX) = 0,
et le même travail de prolongement par continuité conduirait à poser cette fois-ci 0^0=0 par continuité à droite.

Tout ça pour dire que concernant la fonction (x,y)-> x^y, on ne peut rien dire car si on cherche à la prolonger par continuité suivant 2 directions différentes en (0,0), on n'obtient pas le même nombre.

Donner une valeur fixe à 0^0 pour des raisons analytiques n'a aucun sens.

On peut trouver un intérêt pour le binôme de Newton, comme tu l'as sans doute vu et les mathématiciens ont le droit de juger utile de choisir conventionnellement que 0^0=1.

Mais si, on fait ce choix, on s'interdirait arbitrairement de pouvoir rendre continue la fonction y->0^y en 0.

Ca devient un choix pragmatique. Quelle convention est la meilleure?

Par compte, en tant que mathématicien, ayant conscience du statut de 0^0, on peut s'étonner de voir que certaines personnes éclairées puissent consciencieusement se servir de l'argument 0^0=1 pour appuyer une certaine antériorité des mathématiques sur la physique.

Mais, heureusement, on dirait que cet argument commence àse faire oublier dans le discours des Bogdanoff.

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Pour les instruments numériques, il ne faut pas être surpris, les valeurs indéterminées sont évitées autant que possible.

Essayer avec votre calculatrice de calculer lim en 0 de 0^x voir ce que ça donne.

[Damon]

Salut,

merci pour ces explications, je comprends mieux où se situe le problème maintenant (mon derniers cours de math remontant à 20 ans).

Par contre je suis intrigué par ceci (dans le pdf que tu donnes) :

Rappelons que la fonction ln est une bijection de R^*₊ dans R et que e est le nombre dont le logarithme népérien est égal à 1. (ln e = 1 et e =~2.718)

Qu'en est-t-il de la fonction en 0, ne faudrait-il pas plutôt considérer la fonction en R₀^*₊ ?

Damon
Qui tente de se rappeler de ses cours de math

[invitecd42c963]

Bonjour,

Matlab affirme que 0^0=1, et que lim 0^x quand x tend vers 0 = 0
C'est beau l'informatique, ca a reponse a tout...
Mais bon, tout est question de convention, l'un et l'autre sont justes et faux a la fois, donc il faut faire un choix, Matlab a choisit les 2!

[doryphore]

La limite de la fonction logarithme népérien en 0+ est égale à - infini.

J'ai donc fait un changement de variable X=ln x pour ma limite à droite en 0 (désignation équivalente de limite en 0+, quand on est sur R).

Si le document est avare de précisions concernant la fonction ln, c'est parce que elle est considérée comme acquise en début de bac+1.

[invitebb921944]

Merci beaucoup pour ces réponses qui m'ont éclairé.

Qu'en est-t-il de la fonction en 0, ne faudrait-il pas plutôt considérer la fonction en R0*+ ?

Si tu parles de la fonction ln, R*+ signifie : R positif et différent de 0 (l'étoile). Donc la question ne se pose pas en 0 (et lim(x->0) ln(x) =-l'infini)

[Damon]

Si tu parles de la fonction ln, R*+ signifie : R positif et différent de 0 (l'étoile). Donc la question ne se pose pas en 0 (et lim(x->0) ln(x) =-l'infini)

Ok, j'étais habitué à unen notation différente, d'où ma question.

En revanche, si tu considères l'application y->0^y, cette fois-ci, on a pr tt y in R*+, 0^y=0,
0^y = lim {x->0+} e^(y ln x) = lim { X->-infinity} e^(yX) = 0,
et le même travail de prolongement par continuité conduirait à poser cette fois-ci 0^0=0 par continuité à droite.

La continuité faisant sortir du domaine de définition de la fonction est-il erroné de considérer cette continuité comme non valide ?

Damon

[invite48d4167a]

0^0=1 vient du fait que xln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0
car si on prend la fonction (x^x) on a :

x^x=exp(ln(x^x))=exp(xln(x)) tend vers exp(0)=1

[Quinto]

Pas la peine de se casser le tronc pour ca, c'est une convention.

soit f la fonction de R² dans R définie par f(x,y)=x^y

On va montrer que la fonction f n'est pas continue en 0.
f(0,y)=0^y et tend vers 0 lorsque y tend vers 0
f(x,0)=1 et tend vers 1 lorsque x tend vers 0.

La fonction n'est donc pas continue en 0, et on ne peut donc pas la prolonger par continuité en 0, et donc il n'y a pas de réponse plus vraie qu'une autre.
Mais par convention on pose parfois que 0^0=1.

Message édité: je reprend la réponse de doryphore qui m'avait échappé, désolé.

[doryphore]

La continuité faisant sortir du domaine de définition de la fonction est-il erroné de considérer cette continuité comme non valide ?

Le prolongement par continuité consiste justement à regarder si la fonction qu'on étudie est assez régulière aux limites de son ensemble de définition pour se permettre en choisissant une valeur adéquate d'augmenter son domaine de validité.

Exemple issu du problème posé, f: x->x^0 vaut 1 sur son domaine de définition R*.

Etant donnée que lim {x->0+} f(x) = lim {x->0-} f(x) = 1.

En définissant f sur R et en posant f(0)=1, on obtient une fonction tout ce qu'il y a de régulier. Ce qui légitime cette opération d'un point de vue mathématique.

0^0=1 vient du fait que xln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0
car si on prend la fonction (x^x) on a :

x^x=exp(ln(x^x))=exp(xln(x)) tend vers exp(0)=1

C'est un joli calcul de limite , que penses-tu de celui-ci ?
0^0=1/e,
lim {x->0} exp(-1/x)^x = 1/e.
Or, lim {x->0} exp(-1/x)= lim {x->0} x = 0.

[prgasp77]

Dites-moi,
Comme 0⁰ = 0^1-1 = 0¹/0¹ = 0/0
Comme 0⁰ = 0^-0 = 1/0⁰ = 1

[invitebb921944]

Dites-moi,
Comme 0⁰ =0^1-1=0¹/0¹=0/0
Comme 0⁰=0^-0=1/0⁰=1

Ouaille
Comprends pas c'est une question ? 0/0 n'existe pas et on ne sait pas si 0⁰ =1, donc tes deux équations sont fausses.

[invitebb921944]

Par contre, c'est peut-être une bonne démonstration que 0⁰ n'existe pas non ?

[Quinto]

Non, si tu veux je te montre que 0=1 dans la même gnere:
0²=0^4/0²
mais on sait que 0^4=0=0²
on a donc 0²=0²/0²=1 puisque comme chacun sait x/x=1 est prolongeable en 0.

donc 0²=1 mais 0²=0 donc 0=1

Pourquoi s'enteter avec ce truc??
Avec Doryphore, on a montré la non possibilité de prolonger par continuité la fonction (x,y)->x^y en 0, ca suffit amplement comme démonstration de non existance de 0^0

[Quinto]

On a JAMAIS JAMAIS JAMAIS JAMAIS ...... JAMAIS le droit de diviser par 0 de toute facon, alors lorsqu'on le fait, il y a problème...

(sauf cas exceptionnel de l'anneau trivial {0} qui n'arrive jamais puisqu'il est réduit à un seul élement et ce qui n'a donc aucun interet)

[invitebb921944]

Donc c'est exactement ce que je viens de dire quoi...
Du moment que tu peux transformer 0⁰ par une fraction ou 0 est au dénominateur (ce qui est impossible) alors 0⁰ n'existe pas.

[Quinto]

Non, justement, mettre 0 au dénominateur n'a aucun sens...

je t'ai dit, avec ton raisonnement:
0²=0^4/0² n'existerait pas et pourtant 0² existe bien
Ce qui n'existe pas c'est de diviser par 0.
La division n'est pas une opération, ca n'existe pas.
lorsque l'on fait a/b avec b non nul dans R, c'est que l'on multiplie a par l'inverse de b, et c'est un abus d'écriture, on devrait marquer a*b^(-1) ou dans une structure commutative a/b est correcte.
Quel est l'inverse de 0 dans R? Il n'y en a pas, donc multiplier un nombre par un nombre qui n'existe pas, c'est difficile..

[invitebb921944]

je t'ai dit, avec ton raisonnement:
0²=0^4/0² n'existerait pas et pourtant 0² existe bien

Ah oui c'est vrai.

[prgasp77]

Ma seconde equation est fausse, mais impossible de la modifier maintenant.
En revanche, la premiere est 'juste' dans le sens ou 0⁰ = 0/0. En clair que ce n'est pas un nombre. En revanche on peut calculer lim(p->oo) 0^p=0 et lim(q->oo) q⁰=1 d'ou 0⁰ est une forme indeterminee. Juste ?

[invite47e51e9d]

les mecs n'oubliez pas quand meme qu'une règle de base des maths dit qu'on peut rien diviser par zéro....

[prgasp77]

merci bien de nous le rapeler ...
Autre chose, ton resonement sur 0² n'est pas corect, car si 0²=0⁴/0², alors 0⁴/0²=0⁴/0⁴/0² ... et cela sans fin. Alors qu'avec la fausse egalite (disont equivalence) 0⁰=0¹/0^-1, on s'y retrouve. Comme 0/0 est absurde, 0⁰ l'est aussi.

[invite47e51e9d]

une réponse un peu naive:

0^0 = e^(ln(0^0)) = e^(0 x ln0)
or ln0 n'existe pas
donc 0^0 n'existe pas...
c'était ca la question de départ?

[invitebb921944]

Autre chose, ton resonement sur 02 n'est pas corect, car si 0²=04/02, alors 04/02=04/04/02 ... et cela sans fin. Alors qu'avec la fausse egalite (disont equivalence) 00=01/0-1, on s'y retrouve. Comme 0/0 est absurde, 00 l'est aussi.

Non non, il utilise le même raisonnement que toi.
Tu dis : 0⁰ =0^1-1 =0¹ /0¹
Dans ce cas on pourrait aussi dire :
0² =0^4-2 =0⁴/0²

Enfin bon, on n'a pas le droit de diviser par 0 mais la formule utilisée précédemment n'est pas valable pour xⁿ (n E N) avec x=0.

0^0 = e^(ln(0^0)) = e^(0 x ln0)
or ln0 n'existe pas
donc 0^0 n'existe pas...
c'était ca la question de départ?

Euh oui mais dans ce cas on peut dire :
0=e^ln(0)
Donc 0 n'existe pas
En fait, on n'a tout simplement le droit de transformer un nombre x en l'expression e^ln(x) que si x est supérieur ou égal à 1.
La question de départ, c'était de savoir pourquoi je vais apprendre l'année prochaine que 0⁰ =1 alors qu'on ne sait même pas si 0⁰ existe mais apparemment, c'est en prolongant la continuité de la fonction x⁰ en 0.


Sinon effectivement le binome de Newton donne 0⁰ =1.

[Meumeul]

On a le droit de transformer x en e^ln(x) si et seulement si x > 0

[invite48d4167a]

On a le droit de transformer x en e^ln(x) si et seulement si x > 0

on f ensuite tendre x vers O+

[invitebb921944]

Oui c'est pour x>0 désolé.

[Quinto]

A partir du moment où on fait exprès de ne pas comprendre que diviser par 0 n'a absolument aucun sens et où on ne lit pas les explications données maintes fois sur la non continuité possible de x^y, le débat peut continueur longtemps ainsi.

0^0 n'existe pas parce que ca ferait exp(0ln(0)) ou parce que 0/0 n'existe pas n'ont absolument aucun sens non plus,ce n'est pas la peine de s'obstiner à penser que si...