aire et CG d'un polygone irregulier

[invitec35bc9ea]

bonsoir,
je dois realiser un programme qui calcule l'aire et les ccordonnées du CG d'un polygone irregulier. mais avant de m'attaquer à la programmation, il faut que je determine la methode à suivre.
mon polygone n'est pas defini par une figure par une suite de coordonnées [x,y].

sauriez vous comment à partir de n coordonnées (x,y), on pourrait determiner le CG?

pour l'aire j'additionnerais les aires des triangles formés du CG et de 2 sommets consecutifs.
j'imagine l'aire d'un triangle (x1,y1,x2,y2,x3,y3) comme suit (corrigez moi si je me trampe):

a=(|x1-x2|²+|y1-y2|²)^0.5
b=(|x1-x3|²+|y1-y3|²)^0.5 x cos[90-(180- tg^-1(|x1-x3|/|y1-y3|) - tg^-1(|x1-x2|/|y1-y2|))
S=(a x b)/2

est-ce correcte?

merci
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[invite4ef352d8]

Salut !


ca ma l'air juste, maic c'est bien compliqué, et on pourrait faire la meme chose en ce passant de toute formule de trigo.


déja pour le centre de gravité de n point [x1,y1]..[xn,yn] c'est tres simple, c'est :
[(x1+x2...+xn)/n,(y1+y2..+yn)/n]


pour la surface il faut effectivement dévouper en plusieur petit triangle... mais il faut faire attention ca ne marche bien que pour des Polygone convexe, sinon il va falloir calculer des air algébrique et ca va ce compliquer un peu...

mais enfin pour avoir l'air d'un triangle ABC, tu note [x1,y1] le vecteur AB, [x2,y2] le vecteur AC et dans ce cas l'air du triangle est : A=|x1*y2-x2*y1|/2

[invitec35bc9ea]

merci pour la reponse,

sinon il va falloir calculer des air algébrique

ce qui veut dire?

[invite4ef352d8]

il faudrait faire un dessin pour expliquer clairement... mais bon je vais essayer comme ca :


imagine que ton polygone ne soit pas convexe, dans ce cas il est possible que en faisant ton découpage avec des triangle tu "prenne" des morceaux du plan qui ne soit pas dans le Polygone (par exemple, il est possible que le CG lui meme soit à l'exterieur du polygone, et la c'est désatreux)

dans ce cas une solution est de comptabilier des air algébrique, une air algébrique, c'est une air avec un signe : par exemple si tu tourne autour de ton polygone en sens trigonométrique l'air encerclé est compté positivement, et si tu tourne en sens anti-trigonométrique l'air sera compter négativement. et avec ce genre de convention, et en s'y prenant bien, on peut faire en sorte que les parti extérieur au plan qu'on prendra "extérieur" au polygone sera compté une fois positivement une fois négativement et donc s'anule... mais ceci à plusieur inconvenient :
1) l'ordre des sommet aura une tres grande importance : imagine que ton polygone est un caré ABCD, si tu rentre les sommets dans le bonne ordre ABCD tu trouvera l'air du caré, si tu rentre en sens inverse : ADCB tu trouvera son opposé (pas trop grave) mais si tu rentre en "croisé" : ACBD tu trouvera 0 !! (le triangle du dessu sera compté positivement, celui du dessou négativement !)
2) il va falloir réflechir beaucoup plus au probleme d'orientation ^^

bref, il est plus simple de ce contenter des polygone convexe pour esquiver ce type de probleme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Salut !
déja pour le centre de gravité de n point [x1,y1]..[xn,yn] c'est tres simple, c'est :
[(x1+x2...+xn)/n,(y1+y2..+yn)/n]

C'est bien vu, il convient peut-être de rappeler que le centre de gravité du morceau de plan délimité par un triangle est le même que celui des 3 sommets affectés du même poids.