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intégral et dual



  1. #1
    Fidudu

    intégral et dual


    ------

    bonjour tout le monde, j'ai une question concernant le lien entre les intégrales et les bases duales:

    existe t-il un lien entre le dx dans une intégrale classique et les vecteurs d'une base dual, qui se notent parfois dx (application que à un vecteur associe la composante selon x), étant donné que les intégrale peuvent être des formes linéaires?

    ma question n'est peut etre pas très rigoureuse, mais j'aimerais bcp que quelqu'un m'éclaire!

    merci

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : intégral et dual

    Salut et bienvenue,

    la réponse est « oui ».

    Pour l'explication du pourquoi du comment, tout dépend de tes connaissance en géométrie différentielle... En fait, on intègre pas des fonctions mais des formes différentielles, qui sont des sections du fibré cotangent. Or en un point, l'espace cotangent est simplement le dual de l'espace tangent.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 30/01/2007 à 05h41.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  3. #3
    Fidudu

    Re : intégral et dual

    Merci pour cette réponse...bien qu'elle ne m'éclaire pas beaucoup

    j'ai fais une prépa donc je me rappelle ce qu'est une forme différentielle, mais je ne connais pas les espaces fibrés et autre (c'est de la cohomologie?)...

    N'y a t'il pas un rapport avec les distributions aussi?

    Merci

  4. #4
    martini_bird

    Re : intégral et dual

    Salut,

    je te donne une explication "avec les mains"...

    Tu vois ce qu'est un plan tangent à une surface : en prenant la réunion disjointe de tous les espaces tangents à ta surface, tu obtiens un gros ensemble qui s'appelle le fibré tangent, et qui est une variété différentielle de dimension 4 ici.

    Comme ce fibré tangent est une réunion d'espaces vectoriels, il n'est pas très difficile d'envisager le fibré cotangent, réunion disjointe des duaux des plans tangents : c'est à nouveau une variété de dimension 4.

    Une section du fibré tangent, c'est un champ de vecteurs : à chaque point de la surface, on associe un vecteur du plan tangent. Une section du fibré cotangent consiste de même en la donnée pour chaque point de la surface d'un élément de l'espace cotangent. Une forme différentielle, c'est une section du fibré cotangent.

    La raison vient de ce que le fibré tangent s'identifie avec l'espace des dérivations (applications vérifiant les mêmes propriétés que la dérivation ) : en effet, on peut définir la dérivée directionnelle selon un vecteur tangent et réciproquement. De même, une différentielle en un point associe à un vecteur tangent un nombre dérivé, (une entrée dans la matrice de la différentielle). Une forme différentielle généralise ce procédé, au sens que l'on passe de la différentielle daf en un point à la différentielle df. Rigoureusement, celà s'exprime en disant qu'une forme différentielle est une section du fibré cotangent. * Désolé, je ne sais pas dire mieux, faute de recul vis-à-vis de ce sujet. *

    Enfin, on peut définir localement une base du fibré cotangent qui s'écrit , soit tout simplement dx dans le cas d'une courbe.

    N'y a t'il pas un rapport avec les distributions aussi?
    Non, je pense que là tu confonds avec le fait que les distributions sont définies comme des formes linéaires : la notion de dual intervient aussi, mais celà n'a, à ma connaissance, pas grand chose à voir.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Fidudu

    Re : intégral et dual

    Merci beaucoup pour cette réponse!

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