densité

[invitefa636c3d]

bonsoir à tous,ma question concerne la notion de densité

on sait et on démontre que Q est dense ds R, que GLn(K) est dense ds Mn(K)...

mais comment peut on "interpréter" (de maniere intuitive si possible) la notion de densité ? (ds ces 2 exemples ou ds d'autres)
j'ai bcp de mal à cerner cette notion de densité

on parle aussi parfois de "pousser un résultat par densité"
qu'est ce que cela veut dire exactement?

je suis vraiment dans le flou avec la densité qui semble être une notion importante alors si qqn a une petite explication...
merci de votre aide
A+
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[invite3bc71fae]

Q est dense dans R veut dire que tout élément de R est la limite d'une suite d'éléments de Q. On peut approcher un réel "d'aussi près que l'on veut" par une suite de rationnels.

[mach3]

salut, j'ai comme vague souvenir de DEUG, que dire que Q est dense dans R, c'est en fait qu'il existe toujours un réel compris entre 2 irrationels (qu'on peut prendre aussi proche l'un de l'autre qu'on veut), cela reviens a l'histoire de suite en somme, mais c'est plus imagé

[invitefa636c3d]

merci pour vos explications;

en regardant un peu de plus près je crois avoir compris qu'il y a un lien avec les boules ouvertes ( ds toute boule ouverte non vide il y a au moins un rationnel)
je ne suis pas sur d'avoir tout compris malgré tout...
alors si qqn peut confirmer...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3bc71fae]

Dans un espace muni d'une métrique, un ensemble F est dense dans E si pour tout élément x de E et pour toute boule ouverte de rayon aussi petit que tu veux centrée en x, il y a au moins un élément de F dans cette boule.

[inviteca3a9be7]

>> pousser un résultat par densité

Ca vient souvent (sinon toujours) avec un argument de continuité.

Un exemple : suppose que tu aies une fonction continue f telle que une propriété sur cette f fonction soit vraie pour tout rationnel. Alors il y a de forte chance qu'elle le soit pour tour réel.

. Si f(x) est constant pour tout x rationnel et f continue, que dire de f ?
. Trouver les fonctions C° sur IR telles que f(x+y)=f(x)+f(y) (équation de Cauchy).


Dans GL(C)/Mn(C), si tu peux montrer qu'une propriété est vraie pour toutes les matrices inversibles et si cette propriété dépend continuement de la matrice alors elle est toujours vraie.

[invite51f4efbf]

merci pour vos explications;

en regardant un peu de plus près je crois avoir compris qu'il y a un lien avec les boules ouvertes ( ds toute boule ouverte non vide il y a au moins un rationnel)
je ne suis pas sur d'avoir tout compris malgré tout...
alors si qqn peut confirmer...

Il y a plusieurs manières de définir la densité d'un ensemble A dans un espace topologique B. La première que l'on voit est généralement de dire que A est dense dans B si tout élément de B est limite d'une suite d'éléments de A. C'est à dire, suivant la définition de convergence d'une suite, que pour tout point x de B, et pour tout voisinage V de x, V contient tous les termes d'une suite dans A sauf un nombre fini d'entre eux. Dans cette définition, et pour les espaces métriques, on peut remplacer "voisinage" par "boule ouverte".

Ca assure ce que tu dis : dans toute boule ouverte centrée en un élément x de B, il y a au moins un élément de A (un des éléments de la suite !).

La réciproque est également vraie : supposons pour tout x de B, et pour toute boule ouverte centrée en x, il existe un élément de A dans la boule. Alors j'affirme qu'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x. En effet, je prends pour un entier naturel non nul la boule . Par hypothèse, elle contient un élément de A, que je note . Alors est une suite dans A qui converge vers x.

Voici pour ton équivalence.

Si on veut gratter encore un peu, on peut définir la densité de la manière suivante : étant donné un espace topologique B et un sous-espace A de B, on dit que A est dense dans B si l'adhérence de A est B. Rappelons que L'adhérence de A est l'ensemble des points x de B tels que tout voisinage de x intersecte A. On peut montrer facilement qu'il s'agit du plus petit fermé contenant A, c'est à dire de l'intersection de tous les fermés contenant A. La même démonstration que précédemment te permettra de montrer que dans les espaces métriques, l'adhérence est l'ensemble des points qui sont limites d'une suite à valeurs dans A.

Si ce n'est pas clair, n'hésite pas à demander

[inviteab2b41c6]

dire que Q est dense dans R, c'est en fait qu'il existe toujours un réel compris entre 2 irrationels (qu'on peut prendre aussi proche l'un de l'autre qu'on veut)

Mais c'est quand même plus délicat comme définition lorsque l'on est plus dans un ensemble ordonné ...


Ca m'amène à une question un tout petit peu hors sujet, mais qui colle un peu quand même, et que je voulais poster aujourd'hui, mais on ne va pas créer un fil pour ca:

L'adhérence d'un ensemble A, A_barre est le plus petit fermé contenant A. C'est l'ensemble des limites possibles des suites à valeurs dans A.
L'adhérence de R, notée R_barre est RU{+oo,-oo}
Pourtant le plus petit fermé contenant R est bien R lui même, non?

[invite51f4efbf]

L'adhérence d'un ensemble A, A_barre est le plus petit fermé contenant A. C'est l'ensemble des limites possibles des suites à valeurs dans A.
L'adhérence de R, notée R_barre est RU{+oo,-oo}
Pourtant le plus petit fermé contenant R est bien R lui même, non?

C'est simple : l'adhérence d'un ensemble se définit par rapport à un autre ensemble. L'adhérence de dans est , comme tu l'as remarqué, puisque est le plus petit fermé contenant .

Maintenant, tu peux tout à fait t'amuser à faire la chose suivante : tu prends avec sa topologie usuelle, et tu lui rajoutes artificiellement deux points notés disons . Tu étends sa topologie pour obtenir une topologie sur le nouvel ensemble. Si tu le fais correctement, c'est à dire de telle sorte que , et ne soient pas fermés, alors l'ensemble total est bien le plus petit fermé contenant . Si tu veux un exemple de construction analogue (mais pas identique), cherche le théorème de compactification d'Alexandrov, dans lequel on rajoute un point à un espace topologique séparé localement compact (par exemple ) et on étend sa topologie en rajoutant les complémentaires de compacts de l'ensemble initial pour obtenir un espace topologique séparé et compact dans lequel se plonge l'ensemble de départ (la sphère dans le cas de par exemple, via la projection stéréographique).

[inviteab2b41c6]

Salut,
en effet je n'avais jamais vu les choses sous cet angle là.
C'est très clair, merci bien.

[invitefa636c3d]

bonjour à tous,

en travaillant sur l'adhérence je me suis rendu compte que je n'avais pas tout compris

voici un exemple
dans R on considere A={1/(n+1),n appartenant à N}
que dire des points 1/2 et 0 en terme de point adherent,isole ou d'accumularion de A; on me dit que 1/2 est adhérent à A mais je ne voit pas pourquoi?


j'ai beau essayer de faire des dessins je me perd dans les définitions de l'adherence(voisinages, complementaire de l'exterieur...)
ce problème est surement simple pour bcp d'entre vous mais pour moi ce n'est pas si évident...

merci d'avance
A+
jameso

[inviteab2b41c6]

C'est simple, 1/2 est adhérent parce qu'il appartient à ton ensemble, donc a fortiori il appartient aussi à l'adhérence de ton ensemble (le plus petit fermé contenant l'ensemble, comme 1/2 appartient a l'ensemble il appartient donc aussi au plus petit fermé contenant tout l'ensemble, c'est logique)
0 est adhérent mais aussi un point d'accumulation, puisque 0 est limite de la suite 1/(n+1) donc ca fait de lui un point adhérent, et c'est aussi un point d'accumulation car il n'appartient pas à l'ensemble.
Il appartient à la frontière de ton ensemble.

On ne fait pas de topologie en MP?????

[inviteca3a9be7]

Juste pour compléter :

1/2 n'est pas un point d'accumulation : il n'est pas adhérent à A\{1/2}, il n'est pas limite d'éléments de A\{1/2} si c'est plus clair.


Tiens, quels sont les points d'accumulation de A ?

[invite3bc71fae]

Il n'y a que 0, la suite est strictement décroissante.

On peut trouver autour de tout point de la suite un voisinage dans lequel il n'y a pas une infinité de points de la suite.

[inviteca3a9be7]

C'était juste une question pour faire réfléchir Jameso, mais c'est pas grave ...

[invite3bc71fae]

Ca le fera peut-être réfléchir quand même.

[inviteca3a9be7]

Bon, alors pour Jameso seulement (*)


Montrer que l'ensemble des points d'accumulation d'un ensemble est un fermé.


C'est pas dur mais ça fait faire de la gymnastique !




(* je déconne)

[inviteca3a9be7]

Un autre plus ludique :

Construire une suite u(n) (d'entiers par exemple) dont tous les éléments (les u(n)) sont des points d'accumulation de la suite en question.

[inviteca3a9be7]

Murf ?

Pô bien mes exos ?

[invite3bc71fae]

Si, mais je vais encore me faire crier après.

[invite3bc71fae]

Un autre plus ludique :

Construire une suite u(n) (d'entiers par exemple) dont tous les éléments (les u(n)) sont des points d'accumulation de la suite en question.

Bon, je me lance:

je munis {-1,1} de la topologie grossière.
Ainsi, le seul voisinage possible de -1 ou de 1 est {-1,1} et je prends la suite .
Pour tous les points de la suite, leur voisinage est non vide et non réduit au point.
Donc j'ai gagné!

[inviteca3a9be7]

Bon, avec une infinité de points d'accumulation maintenant

[invite3bc71fae]

Hé bien, la topologie grossière, elle ne fait pas dans la finesse (comme son nom l'indique).

Donc, je prends la topologie grossière sur , je prends la suite et j'en tire les même conclusions.

[invitefa636c3d]

salut,

vous allez dire que j'insiste avec la topologie mais après une année passée avec un prof au manque de bonne volonté flagrante...enfin bon...

je ne comprends pas sa démonstration sur cet exo:

soit SLn(K)={A dans Mn(K),det (A)=1}. determinez l'adhérence, l'interieur de cet ensemble.

pour l'adherence je pense que c'est OK (SLn(K)=image reciproque du singleton {1} par det qui est continue..;au fait un singleton est ouvert, fermé ou les deux?
mais pour l'interieur je ne vois pas trop...

merci à vous.
jameso

[inviteab2b41c6]

Ca veut dire quoi que Sln(K) soit l'image réciproque de {1} par det qui est continue?

Un singleton ne peut pas etre ouvert et fermé à la fois pour la topologie usuelle de R puisque R est connexe, donc les seuls ouverts et fermés sont vide et R tout entier.
Un singleton est fermé.

Note qu'il peut très bien avoir des ensembles ni ouverts ni fermé (relativement à R)
Par exemple [a,b[ avec a<b est ni ouvert ni fermé dès lors que b est fini (si b=+oo c'est par contre un fermé de R)

[invitefa636c3d]

pour l'adhérence il écrit:

SLn(K)=det^(-1)({1}) donc l'adhrence de SLn(K) est SLn(K)
(je ne sais pas si c'est très clair à lire...)

[inviteab2b41c6]

Ok, j'ai compris, mais qu'est ce que tu peux en déduire?

[invitefa636c3d]

on en deduit que SLn(K) est fermé... non?

[inviteab2b41c6]

Oui d'accord.
C'est juste que ca paraissait un peu parachuté sinon.