Magie et mathématiques

[invite5119e3ea]

Bonjour a tous, je suis nouveau sur le forum et j'aurais un petit problème a vous soumettre.

J'essaie de comprendre comment fonctionnent certains "tours de magie", J'ai réussi a en expliquer un mais l'autre je bloque..

Jeu 1 :

But du jeu
Deviner le jour et le mois de naissance d'un spectatuer

Le Jeu
Demander au spectateur :
-De multiplier le jour de naissance par 13
-De multiplier le mois de naissance par 14
-D'ajouter ces deux nombres

Demander le résultat au spectateur

Réponse a expliquer :
Diviser le nombre donné par le spectateur par 13
Le reste de la division donne le mois, et le résultat de la soustraction du quotient et du reste; donne le jour.


Voila ma réponse :

N=le nombre donné par le spectateur
j=le jour
m=le mois

N=13j+14m

Je pose # = "congru à"

13j#[13]
14#1[13]
14m#m[13]

donc N#m[13]

1<(ou égal)m<(ou égal)12

m est ke reste de la division de N par 13

N=13q+m , q dans Z
13j+14m=13q+m
13j=13q+m-14m
13j=13q-13m
j=q-m

Voila, par contre je n'ai pas réussi a expliquer pourquoi on prend 13 et 14..

Jeu 2 (celui qui me pose problème) :

But du jeu : deviner l'age d'un spectateur.

Le jeu :

Demander a un spectateur :
1- De choisir un nombre de 1 a 8
2- de multiplier ce nombre par 9
3- De multiplier son age par 10
4- De retrancher du résultat obtenu "3-" le résultat de la multiplication "2-"

Réponse a expliquer :
Si le nombre obtenu en "4-" est a deux chiffres, on ajoute ces deux chiffres et on obtient l'age.
Si le nombre est à trois chiffres, on ajoutee au chiffre des unités le nombre a deux chiffres constitué par les deux premiers (centaines, dizaines).

Je sais qu'il faut utiliser des congruences modulo 9 mais je bloquee !
Aidez moi s'il vous plait.. C'est frustrant de ne pas trouver.....
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[invitea3eb043e]

Pour le 1er exo, le numéro du mois étant forcément inférieur ou égal à 12, quand on fait le reste de la division par 13, on trouve ce mois. Ca ne marcherait pas avec 7 car si le reste était 2, on ne saurait pas si c'est février ou septembre.

[invite5119e3ea]

Merci Jeanpaul mais ce qui m'intéresse surtout c'est le jeu 2.

Personne n'a d'idée??

[invitea3eb043e]

Ce jeu 2 est bizarre. Suppose un âge de 5 ans et un chiffre de 3. La réponse est alors de 50 + 27 = 77 et on annonce fièrement 14 ans, ce qui est faux.
Autrement l'idée est que la réponse R vaut 9N + 10 A et que R est congru à A modulo 9 (évident). S'il y a 2 chiffres, on voit que A est inférieur à 17 et ça marche (critère de division par 9).

S'il y a 3 chiffres, je ne vois pas comment ça marche. Exemple : A = 20 et N = 2. Le total vaut 218. Si on ajoute 21 ça fait 239 et alors, que fait-on pour trouver 20 ?
Tu devrais vérifier l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5119e3ea]

" 4- De retrancher du résultat obtenu "3-" le résultat de la multiplication "2-" "

pour un age de 5 ans et le chiffre 3, on fait 3*9=27, 5*10=50, 50-27=23, 2+3=5. Ca marche non? tu avais mal lu, on n'additionne pas les étapes 2 et 3 mais on retranche 2 de 3 (on fait "3"-"2")

[invitea3eb043e]

Ca doit être ça mais il n'empêche que si l'âge est 5 ans et le nombre 8 on trouve un nombre négatif, ce qui pose problème pour les congruences.
Donc le résultat doitêtre
R = 10 A - 9 N où A est l'âge et N le nombre. C'est ça ?
R est congru à A modulo 9 donc la somme des chiffres donnera A modulo 9. On doit assez bien voir que A est inférieur à 17.
S'il y a 3 chiffres, on peut remarquer que
R = 10 A - 9 N = 10 (A - N) + N
Comme N est compris entre 1 et 8 le dernier chiffre du résultat donne N. Pas besoin de se compliquer la vie.

[invite5119e3ea]

Merci ! j'ai a peu pres cerné la réponse, mais comme je suis en terminale il me faut le temps, la clé est dans les lois de la preuve par neuf, et je ne les connaissais pas très bien..
Par contre j'ajouterais que meme si on trouve un nombre négatig, il n'y a pas de probleme, vu qu'on est en modulo 9 il suffit d'ajouter un certain nombre de fois 9 pour repasser dans le positif.

Merci encore

A+

[invitea3eb043e]

Faut quand même faire attention avec les nombres négatifs. Ainsi -20 est congru à 7 modulo 9 mais le reste ne s'obtient pas en additionnant les chiffres (en tous cas, il ne faut pas oublier le signe -).