Surface d'une fractale

[invite7553e94d]

Bonjour à tous. Pour m'amuser (j'avais du temps à tuer), j'ai tenté de calculer la surface d'une fractale connue, mais dont je ne me souviens plus du nom : appelet flash (cliquer sur le bouton "complexité +"). J'amerais que vous validiez mon résultat (je pense avoir fait une erreur).

Supposons, qu'à l'étape 0 (triangle équilatéral), nous soyons dans un cercle de rayon 1. Notons et respectivement la longueur d'un coté et la hauteur des triangles ajoutés à la n-ième étape. Notons la surface de l'ensemble à la n-ième étape.

Initialiement, nous avons :



Par la suite, on a il me semble :




Quant à la surface , il faut savoir qu'à la n-ième étape, la figure a exactement 3.4ⁿ cotés :


Ainsi,


On passe alors à la limite pour trouver :


Je ne sais pas pourquoi, mais j'ai du mal à croire en ce 1,6 ... Quelqu'un pour me corriger ? Merci de m'avoir lu jusqu'ici
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[invitea3eb043e]

Intéressant calcul mais tu aurais pu faire plus simple.
Ce truc s'appelle le flocon de Koch.
Si on appelle S l'aire du triangle de départ, la première étape ajoute une aire 3 S/9.
Ensuite, à chaque étape, on ajoute 4 fois plus de triangles qui ont une aire de 1/9 des précédents.
D'où la progression géométrique de raison 4/9 qui converge comme tu as vu.
Simplement parler d'aire évite les racine de 3 partout.

[spi100]

Le truc aussi intéressant à noter dans le cas du flocon de Koch, est que si l'aire converge, le périmètre lui diverge.

[invite7553e94d]

Intéressant calcul mais tu aurais pu faire plus simple.
Ce truc s'appelle le flocon de Koch.
Si on appelle S l'aire du triangle de départ, la première étape ajoute une aire 3 S/9.
Ensuite, à chaque étape, on ajoute 4 fois plus de triangles qui ont une aire de 1/9 des précédents.
D'où la progression géométrique de raison 4/9 qui converge comme tu as vu.
Simplement parler d'aire évite les racine de 3 partout.

Merci, oui en effet c'est plus simple. Je vais reprendre mes calculs (et merci pour le nom).

Le truc aussi intéressant à noter dans le cas du flocon de Koch, est que si l'aire converge, le périmètre lui diverge.

Oui, je me suis amusé à le vérifier, le périmètre vaut à la n-ième étape

[A voir en vidéo sur Futura]