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Surface d'une fractale



  1. #1
    prgasp77

    Surface d'une fractale


    ------

    Bonjour à tous. Pour m'amuser (j'avais du temps à tuer), j'ai tenté de calculer la surface d'une fractale connue, mais dont je ne me souviens plus du nom : appelet flash (cliquer sur le bouton "complexité +"). J'amerais que vous validiez mon résultat (je pense avoir fait une erreur).

    Supposons, qu'à l'étape 0 (triangle équilatéral), nous soyons dans un cercle de rayon 1. Notons et respectivement la longueur d'un coté et la hauteur des triangles ajoutés à la n-ième étape. Notons la surface de l'ensemble à la n-ième étape.

    Initialiement, nous avons :



    Par la suite, on a il me semble :




    Quant à la surface , il faut savoir qu'à la n-ième étape, la figure a exactement 3.4n cotés :


    Ainsi,


    On passe alors à la limite pour trouver :


    Je ne sais pas pourquoi, mais j'ai du mal à croire en ce 1,6 ... Quelqu'un pour me corriger ? Merci de m'avoir lu jusqu'ici

    -----
    --Yankel Scialom

  2. Publicité
  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Surface d'une fractale

    Intéressant calcul mais tu aurais pu faire plus simple.
    Ce truc s'appelle le flocon de Koch.
    Si on appelle S l'aire du triangle de départ, la première étape ajoute une aire 3 S/9.
    Ensuite, à chaque étape, on ajoute 4 fois plus de triangles qui ont une aire de 1/9 des précédents.
    D'où la progression géométrique de raison 4/9 qui converge comme tu as vu.
    Simplement parler d'aire évite les racine de 3 partout.

  4. #3
    spi100

    Re : Surface d'une fractale

    Le truc aussi intéressant à noter dans le cas du flocon de Koch, est que si l'aire converge, le périmètre lui diverge.
    GCS/S s: a C++ DI++>+++ UL++A++HIS++$ P++>+++$ E+>++$ W+>++$ N+ Y+ e++++ t+++ y+++

  5. #4
    prgasp77

    Re : Surface d'une fractale

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Intéressant calcul mais tu aurais pu faire plus simple.
    Ce truc s'appelle le flocon de Koch.
    Si on appelle S l'aire du triangle de départ, la première étape ajoute une aire 3 S/9.
    Ensuite, à chaque étape, on ajoute 4 fois plus de triangles qui ont une aire de 1/9 des précédents.
    D'où la progression géométrique de raison 4/9 qui converge comme tu as vu.
    Simplement parler d'aire évite les racine de 3 partout.
    Merci, oui en effet c'est plus simple. Je vais reprendre mes calculs (et merci pour le nom).

    Citation Envoyé par spi100 Voir le message
    Le truc aussi intéressant à noter dans le cas du flocon de Koch, est que si l'aire converge, le périmètre lui diverge.
    Oui, je me suis amusé à le vérifier, le périmètre vaut à la n-ième étape
    --Yankel Scialom

  6. A voir en vidéo sur Futura

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