Réduction simultanée

[invitea6ce7a57]

Salut à tous!

Quelqu'un connaît-il la démonstration du théorème de réduction simultanée en algèbre bilinéaire (cad pour deux matrices A et B, la première étant la matrice d'une forme bilnéaire symétrique définie positive, et la seconde simplement symétrique, on peut trouver un automorphisme P et une matrice diagonale D telles que A=t(P)*P et B=t(P)*D*P)?

Peut-on y arriver à partir du théorème fondamental (toute matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n.)? Je sens qu'il y a un rapport entre les deux mais j'arrive pas à l'écrire...

Merci!
-----

[GuYem]

Salut,

Il me semble que les deux théorèmes que tu cites sont les mêmes.

Tout réside dans le "dans une b.o.n." de "toute matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n.". En effet pour avoir une b.o.n., il faut avoir un produit scalaire, donc ce produit scalaire a une matrice (symétrique définie positive). Du coup, ta matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n. pour ce produit scalaire. Cela veut dire qu'il existe une matrice P orthogonale pour ce produit scalaire telle que ...

(ici, je voudrais laisser finir quelqu'un d'autre puisque je ne suis jamais arrivé, après pourtant moultes discussions, à savoir si il fallait mettre des transposées ou des inverses à la matrice P. Je donne cependant mon point de vue, à prendre avec des pincettes : )

Soit donc S ta matrice symétrique, et Q la matrice symétrique définie positive de ton produit scalaire. Le fait que S soit "diagonalisable" dans une bon (de Q) signifie qu'il existe P inversible telle que :
(S diagonlisable)
(dans une bon : donc P orthogonale pour le produit scalaire Q)

Si on prend Q la matrice identité, on tombe sur le premier énoncé que tu as écrit.

[invite6b1e2c2e]

(ici, je voudrais laisser finir quelqu'un d'autre puisque je ne suis jamais arrivé, après pourtant moultes discussions, à savoir si il fallait mettre des transposées ou des inverses à la matrice P. Je donne cependant mon point de vue, à prendre avec des pincettes : )

Soit donc S ta matrice symétrique, et Q la matrice symétrique définie positive de ton produit scalaire. Le fait que S soit "diagonalisable" dans une bon (de Q) signifie qu'il existe P inversible telle que :
(S diagonlisable)
(dans une bon : donc P orthogonale pour le produit scalaire Q)

Salut,

Bon, je confirme toutes les idées, sauf la fin. En fait, souviens toi qu'une matrice est dite orthogonale pour le produit scalaire usuel si tr(P) * P = Id. De même, une matrice est orthogonale pour le poduit scalaire (u,v) = <u,Sv> si tr(P) * P = S.
Enfin, la matrice est inversible puisque P est une matrice de passage de la base canonique à une base orthonormale pour S.

__
rvz

[GuYem]

Euuuh oui, je suis d'accord avec toi rvz. Mais je ne vois pas pourquoi tu n'es pas d'accord avec ma fin, si ce n'est que j'ai écrit la relation d'orthogonalité de P pas dans le même sens que toi ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Non, tu as écrit P^-1 P = S, et pas tr(P) * P = S, ce qui est différent puisque P n'est qu'inversible.

__
rvz

[GuYem]

Ah merde ! (excusez le gros mot ...) Voilà l'endroit où je ne comprends plus !

Essayons (pour la 35 ème fois pour ma part) de mettre les choses à plat :
S est la matrice symétrique, Q est celle du produit scalaire.

Pour moi la phrase " S est diagonalisable dans une bon de Q " veut dire :
- il existe P inversible telle que soit diagonale (ça veut bien dire ça DIAGONALISABLE ??)
- En plus, P est la matrice d'un changement de bases orthonormées de Q, ie

Je me trompe ?

[invite6b1e2c2e]

Bon, je précise ma preuve.

1/ Q est symétrique définie positive, donc il existe A dans O_n(R) telle que A^{-1} Q A = tr(A) Q A = D, matrice diagonale dont tous les coefficients sont strictement positifs d_i =a_i ^2.
En multipliant A par la matrice diagonale des 1/a_i, tu obtiens une matrice B dans GL_n telle que tr(B) Q B = I.

2/ La matrice tr(B) S B est symétrique, donc diagonalisable en base orthonormale, ie il existe C dans O_n(R) tel que tr(C) tr(B) S B C = D diagonale.
Donc P = B C répond à la question. En effet,
P* tr(P) = B C * tr(C) * tr(B) = B* tr(B) = Q^{-1}. Bref, ça aurait marché si j'avais pris B^{-1} au lieu de B dans le point 2/.

__
rvz

[GuYem]

Ah oui, j'aime bien ce que tu dis !

En fait, il y a deux produits scalaires (le canonique et celui qui nous intéresse) et la matrice S à diagonaliser et on peut énoncer :
si S est symétrique et Q symétrique définie positive, alors il existe P orthonormale pour Q avec :
transposé(P) S P = diagonale.


Ce qui me génait était le terme "diagonalisable", qui devrait faire arriver un P^(-1), mais on le camoufle grace au produit scalaire canonique.

[Gpadide]

Bonjour, j'ai un exo qui ressemble. J'essaie de comprendre le dernier post de rvz mais je n'y parviens pas. On me demande, pour A symétrique définie positive et B symétrique, de montrer qu'il existe P inversible et D diagonales telles que :
tr(P)AP= I et tr(P)BP=D.
Ce qui me gene c'est que la matrice P doit etre la meme pour les deux relations, ce qui ne semble pas etre le cas dans la démonstration de rvz...

[sadben2004]

Bon, je précise ma preuve.

Je réécris ta preuve RVZ pour qu'un ami puisse la comprendre :

1/ Q est symétrique, donc il existe A dans telle que .
Q définie positive donc D a ses coefficients strictement positifs .
En multipliant A à droite par la matrice diagonale des , tu obtiens une matrice B dans telle que .
B n'est pas orthogonale !
et

2/ La matrice est symétrique, donc diagonalisable en base orthonormale, ie il existe C dans tel que diagonale.
Donc répond à la question. En effet:

.