Entier rationnel et décimaux

[inviteb473d51f]

Bonsoir tout le monde !
J'aimerais établir que pour tout entier n >0, le rationnel 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) n'est pas un nombre décimal.

Ce que je sais : un décimal est un réel sous la forme k/ 10^n avec k un entier relatif et n, un naturel.
J'ai également remarqué que si on met le rationnel au même dénominateur, on obtient le produit de 3 entiers successifs (donc c'est divisible par 3) mais est ce que ça m'aide pour la question ?

voilà, je suis un peu perdu dans mon problème
Merci pour les éventuelles réponses
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[invite4ef352d8]

Salut !


quand tu as une fraction rationel SOUS FORME IREDUCTIBLE p/q, alors elle est décimal si et seulement si q n'est divisible par aucun nombre premier autre que 2 et 5.

il suffit donc de mettre ton nombre sous forme fractionaire, le dénominateur sera divisible par 3, mais il faut en plus que le numérateur ne le soit pas pour pouvoir conclure. par chance ceci est vrai et ce vérifie assez facilement ^^

[invite10c0f164]

Salut!

Tu est donc ramené à montrer que pour tout n entier
3/(n.(n+2)) n'est pas décimal
Supposons qu'il l'est:

il existe a entier >1 tq
(3 * 2^a * 5^a ) / n.(n+2) est entier

donc n est paire (sinon a=0)

donc n= 2^b * 5^c * D où D n'est divisible ni par 2 ni par 5
et n+2=2^b * (5^c * D +1)

Alors en simplifiant par 2^2b et par 5^c:

3 * 2^(a-2b) * 5^(a-c)
-------------------------- doit être entier
(5^c * D + 1) * D


or ce qui est en bas n'est divisible ni par 5 ni par 2 et est >1
mais en haut si il n'y a ni 2 ni 5 alors il n'y aurait que 3
je te laisses finir

[invite10c0f164]

Ksilver: ait pas compris!

"quand tu as une fraction rationel SOUS FORME IREDUCTIBLE p/q, alors elle est décimal si et seulement si q n'est divisible par aucun nombre premier autre que 2 et 5."

ça ok

"le dénominateur sera divisible par 3"

tu veux dire le numérateur? bon disons oui

"mais il faut en plus que le numérateur ne le soit pas pour pouvoir conclure. par chance ceci est vrai et ce vérifie assez facilement ^^"

disons que par numérateur tu veuille dire dénominateur... Si il est divisible par 3 et pas par 3² ça marche aussi! Tu as dût vouloir dire "il suffit" Bon je comprends pas...

j'ai pas dût comprendre "il suffit donc de mettre ton nombre sous forme fractionaire"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite10c0f164]

Ksilver: ai pas compris!

"quand tu as une fraction rationel SOUS FORME IREDUCTIBLE p/q, alors elle est décimal si et seulement si q n'est divisible par aucun nombre premier autre que 2 et 5."

ça ok

"le dénominateur sera divisible par 3"

tu veux dire le numérateur? bon disons oui

"mais il faut en plus que le numérateur ne le soit pas pour pouvoir conclure. par chance ceci est vrai et ce vérifie assez facilement ^^"

disons que par numérateur tu veuille dire dénominateur... Si il est divisible par 3 et pas par 3² ça marche aussi! Tu as dût vouloir dire "il suffit" Bon je comprends pas...

j'ai pas dût comprendre "il suffit donc de mettre ton nombre sous forme fractionaire"

[invite10c0f164]

désolé pour le doublon et je me suis trompé à:
n+2=2^b * (5^c * D +1)
c'est
n+2 = 2 * (2^(b-1) * 5^c * D +1)

et donc le reste doit être corrigé

[inviteb473d51f]

Bonjour!

Concernant ta réponse pecheur2savon, je pense que tu as mal lu mon énoncé (ou peut-être est-ce moi qui est mal disposé la chose) puisque mon entier est : (3n²+ 6n + 2)/ [(n*(n+1)*(n+2)]

Par conséquent, je pense que Ksilver ne s'est pas trompé(e) en inversant "dénominateur" et "numérateur" comme tu l'affirmais.

Cependant, il y a quelque chose que je ne comprends pas dans la 2e partie du post de Ksilver :

mais il faut en plus que le numérateur ne le soit pas pour pouvoir conclure.

Le dénominateur est effectivement divisible par 3 comme je le suggerais dans mon 1er post, et le numérateur n'est pas divisible par 3 (puisqu'on obtient un reste 2).
Mais je ne vois pas en quoi le fait que le numérateur ne soit pas divisible par 3 permet de conclure le problème
Pourriez-vous être un petit peu plus précis ?
Je suis également d'accord avec votre propriété, mais je ne vois pas où est-ce que vous l'utilisez dans votre raisonnement.

merci

[invité576543]

Mais je ne vois pas en quoi le fait que le numérateur ne soit pas divisible par 3 permet de conclure le problème
Pourriez-vous être un petit peu plus précis ?
Je suis également d'accord avec votre propriété, mais je ne vois pas où est-ce que vous l'utilisez dans votre raisonnement.

Que peut-on dire de la forme irréductible de la fraction si le dénominateur est divisible par 3 mais pas le numérateur?

Cordialement,

[invite10c0f164]

Salut!
Pitai: tu as raison j'ai dit n'importe quoi ça m'apprendra à ne pas répondre trop vite

[inviteb473d51f]

ce n'est pas grave, ça peut arriver à tout le monde.

cependant, la réponse de michel ne m'éclaire pas du tout (vous ne faites que paraphraser ma question) : ce que je comprends, c'est que si le dénominateur est divisible par 3 et que le numérateur ne l'est pas, alors cela veut dire que la fraction est bel et bien irréductible, mais à priori, ce n'est pas ce raisonnement qui permet d'aboutir à la conclusion

[invité576543]

Que peut-on dire à propos de q si p/q est la forme irréductible de la fraction, si on sait que sous une forme peut-être réductible a/b le dénominateur b est divisible par 3 mais pas le numérateur a?

Cordialement,