manifold

invite3d9f8ee1 · 03/08/2004, 17h46

pourriez vous me dire comment on traduit en français

"tri-dimensional manifold"

et ce que ça signifie en topologie

Faites gentilment je ne suis qu'un chimiste

invite51f4efbf · 03/08/2004, 18h21

Envoyé par lyapounov

pourriez vous me dire comment on traduit en français

"tri-dimensional manifold"

et ce que ça signifie en topologie

Faites gentilment je ne suis qu'un chimiste

Le mot français pour "manifold" est "variété". Usuellement, il désigne un espace topologique de Hausdorff (séparé), qui vérifie une propriété bien particulière : autour de chaque point, tu peux mettre un ouvert homéomorphe à un ouvert de $\mathbb{R}^n$ , et on dit alors que la dimension de la variété est $n$ (c'est une définition).

En d'autres termes, c'est un espace topologique localement homéomorphe à $\mathbb{R}^n$ .

Si tu prends un point $p$ de ta variété $M$ , et un voisinage $U$ de $p$ ainsi que l'homéomorphisme $\phi : U \rightarrow V$ donné par la définition, tu peux appeler le couple $(U,\phi)$ une carte locale à $M$ en $p$ . $U$ est le domaine de la carte, et $\phi$ est l'application de coordonnées.

La composition d'une carte locale avec l'inverse d'une autre te fournit un homéomorphisme entre ouverts de $\mathbb{R}^n$ . Si pour chaque choix c'est également un difféomorphisme, alors on dit que les cartes sont compatibles, et si toutes les cartes sont compatibles alors la variété est différentiable.

Je pense que c'est à ceci que le texte que tu lis fait allusion (c'est le cas le plus courant).

Pour un exemple, $\mathbb{R}^n$ muni de la simple carte $(\mathbb{R}^n, Id)$ est une variété de dimension $n$ . N'importe quelle surface paramétrée est une variété de dimension 2 plongée dans $\mathbb{R}^3$ .

De même, $n-m \geq 0$ , et si $f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ est une application différentiable, que le rang de la dérivée de f en chaque préimage de $a \in \mathbb{R}^n$ est maximal (on dit que $f$ est régulière), alors la préimage de $a$ est une variété différentiable de dimension $n-m$ .

La sphère, le tore sont de bons exemples de variétés différentiables. Le cube n'en est pas un, mais c'est une variété topologique (variété compacte, connexe, sans bord de dimension 2).

L'intérêt des variétés est de généraliser le calcul différentiel. Egalement, on peut montrer qu'en chaque point d'une variété lisse de dimension $n$ on peut attacher une copie de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ , et on peut toujours mettre un produit scalaire euclidien sur cet espace (on dit qu'il s'agit d'une métrique riemannienne). L'étude des variétés riemanniennes est l'une des branches principales de la géométrie moderne, et a fourni le cadre formel à la théorie de la relativité générale.

Voilà voilà

invite3bc71fae · 03/08/2004, 20h30

Salut Stephen, je n'ai fait qu'effleurer la notion de variété différentiable durant mes études donc je profite de ton intervention pour te poser 1 question.

Sont-ce les arêtes du cube qui l'empêchent d'être une variété différentiable?

invite51f4efbf · 03/08/2004, 21h01

Envoyé par doryphore

Salut Stephen, je n'ai fait qu'effleurer la notion de variété différentiable durant mes études donc je profite de ton intervention pour te poser 1 question.

Sont-ce les arêtes du cube qui l'empêchent d'être une variété différentiable?

Oui, tout à fait.

En fait, le cube peut être une variété différentiable, mais les cartes locales que l'on met dessus ne sont pas alors la restriction au cube de cartes locales sur $\mathbb{R}^n$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite3bc71fae · 03/08/2004, 21h27

Serait-ce alors une généralisation de la définition de variété topologique que d'utiliser d'autres ouverts que les ouverts de $\mathbb{R}^{n}$ ? Et si c'est le cas, parle-t-on encore de dimension ?

invite3d9f8ee1 · 04/08/2004, 07h46

Envoyé par Stephen

Je pense que c'est à ceci que le texte que tu lis fait allusion (c'est le cas le plus courant).

Merci pour les explications.

Le texte que je lis est une biographie de H. Poincaré qui fait allusion à une conjecture des "manifold"

invite51f4efbf · 04/08/2004, 08h22

Envoyé par doryphore

Serait-ce alors une généralisation de la définition de variété topologique que d'utiliser d'autres ouverts que les ouverts de $\mathbb{R}^{n}$ ? Et si c'est le cas, parle-t-on encore de dimension ?

Attention : le cube peut être muni d'une structure de variété lisse, mais les ouverts auxquels ils est localement homéomorphe sont toujours des ouverts de $\mathbb{R}^{n}$ , simplement, il n'existe pas de structure de variété lisse sur $\mathbb{R}^{n}$ dont la restriction des cartes au cube en fasse une sous-variété.

Par contre, pour répondre à ta question, il existe effectivement des variétés où l'espace n'est pas $\mathbb{R}^{n}$ mais un espace de Banach quelconque, souvent un espace fonctionnel. Ainsi, on parle de variétés de dimension infinie (mais c'est plus le trip de mon colloc' ça).

invite3bc71fae · 04/08/2004, 09h46

Si je comprends bien, si on prend un point P de l'arête d'un cube plongé en 3D, il n'existe pas de couple (U, $\phi$ ) carte locale de $\mathbb{R}^{2}$ telle que sa restriction au cube soit compatible (à cause d'un problème de différentiabilité de $\phi$ au voisinage de P), en revanche cette application $\phi$ peut-être continue avec réciproque continue.

C'est ça ?

invite51f4efbf · 04/08/2004, 11h19

Envoyé par doryphore

Si je comprends bien, si on prend un point P de l'arête d'un cube plongé en 3D, il n'existe pas de couple (U, $\phi$ ) carte locale de $\mathbb{R}^{2}$ telle que sa restriction au cube soit compatible (à cause d'un problème de différentiabilité de $\phi$ au voisinage de P), en revanche cette application $\phi$ peut-être continue avec réciproque continue.

C'est ça ?

Plus ou moins. C'est tout d'abord $\mathbb{R}^3$ et non $\mathbb{R}^{2}$ , mais c'est typo.

En fait, c'est qu'il n'existe pas de collection de cartes (U, $\phi$ ) de $\mathbb{R}^3$ telle que leur restriction au cube forme une collection de cartes compatibles. Et effectivement le cube peut être muni d'une structure de variété topologique, sous-variété de $\mathbb{R}^3$ (c'est même ainsi qu'on le considère usuellement).

Par contre, un théorème fameux dû à Whitney affirme que toute variété différentiable de dimension n est difféomorphe à une sous-variété de $\mathbb{R}^{2n}$ . Le cube avec une structure différentiable est donc une sous-variété de $\mathbb{R}^4$

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