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Dynamique non linéaire : Bifurcation



  1. #1
    Mataka

    Dynamique non linéaire : Bifurcation

    Bonjour,

    Je dois trouver les bifurcation de l'équation différentielle en fichier attaché, pour le paramètre mu. J'ai de la difficulté à trouver le type de bifurcation et le pamaètre critique, car d'abord il a y deux point fixe, 0 et Pi, donc un dirait une bifurcation transcritique (c'est le seul type de bifurcation qui possède deux point fixe en tout temps) mais le pròblème c'est qu'en dévellopant autour de 0 par exemple, je me retrouver avec l'équation type d'un ''pitchfork bifucation''. Où est l'erreur ?

    -----

    Images attachées Images attachées

  2. Publicité
  3. #2
    Gwyddon

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    Salut,

    Je n'ai pas trop compris ton argument à propos du fait que c'est sensé être une bifurcation transcritique.

    Sinon, que donne ton DL autour de zéro ?

    Pour ma part, en me limitant à l'ordre 3 j'ai ce qui est donné dans le fichier joint.
    Fichiers attachés Fichiers attachés
    Dernière modification par Gwyddon ; 05/03/2007 à 21h21.
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  4. #3
    Mataka

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    J'arrive aussi à ce résultat, et c'est ce qui me perturbe

    En fait, ce genre d'équation (que vous obtenez) est caractéristique d'un ''pitchfork bifurcation subcritic'' (j'ai oublié le nom en français), caractérisé par le fait que les points fixes arrivent en pairs. Cependant si on regarde l'équation, celle-ci possède deux points fixe pour tout mu (sauf 1 et -1). De plus, la stabilité des deux points fixe dépend de mu (d'un façon étrange, ce qui me fait croire qu'on est pas en présence d'une transcritique, mais même le pitchfork ne devrait pas changer sa stabilité non ? ).

    De plus le dévellopement autout de 0 n'est pas pareil que le dévellopement autour de pi, mais les deux laisser présager un pitchfork, donc un possibilité de 4, p-e 6 points fixe ??? Je suis surement dans le champs à quelque part mais où ?

    P.S. à noter que je travaille sur le cercle, donc je me restreint à un intervaller de téta entre 0 et 2pi.

  5. #4
    Gwyddon

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    En fait c'est plus compliqué qu'il n'y paraît.

    En effet c'est une bifurcation fourche (pitchfork), soit supercritique soit sous-critique, tout dépend du signe de

    r est le vrai paramètre de contrôle, et si jamais il est positif il faut pousser le DL à l'ordre 5 afin de stabiliser le système. Tu as donc oublié un des deux cas

    Un coup d'oeil ici : http://www.eleves.ens.fr/home/baglio...ue/CoursNL.pdf (un peu de pub pour moi )
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #5
    Mataka

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    D'accord, mais comment expliquer le fait qu'il y a seulement deux points fixes de possibles ? (alors qu'une fourche en possède généralement 3 non ? , de plus il semble y avoir une fourche à 0 et une fouche différente à pi, non ? )

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    Déjà à la base, même en se restreignant à je vois trois points fixes
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    Mataka

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    Ouais mais je vous ai dit que je travaillais sur le cercle, donc 0 et 2pi sont le même point.

  11. #8
    Gwyddon

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    Bonsoir,

    Je n'ai pas trop le temps de revenir discuter du problème avec toi, désolé. Ceci dit, as-tu avancé ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    Mataka

    Re : Dynamique non linéaire : Bifurcation

    Plus ou moins, même en traçant on voit bien qu'il n'y a pas autant de points fixe que la linéarisation le laisse croire. Je essayer un autre truc d'ici demain, mais en passant il s'agit d'un problème du chapitre 4 de Strogatz, que vous avez dans votre bibliographie

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