Des noyaux emboités

[invitedf667161]

Bonjour à tous, me voilà avec un problème de noyaux.

Je prends n un entier, des réels distincts, et d un entier strictement plus petit que n.
Attention, voilà des matrices. Je pose une matrice de Vandermonde comme ceci :

C'est une matrice à d+1 lignes et n colonnes. Ensuite, je pose , elle est (d+1)x(d+1), symétrique, définie positive. Enfin je pose .

Il me faut montrer que les noyaux des s'emboitent :

Ca peut faire peur mais il est rassurant de remarquer que
- est une matrice de projection orthogonale,
- , donc on a la dimension des images et des noyaux.
- dans le cas extrème , est carrée donc il y a plein de choses qui se simplifient et est nulle.

Toutes les suggestions sont les bienvenues
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[invitedf667161]

Re-salut,

J'ai trouvé une solution à mon problème. Pour ceux que ça intéresse, essayez de multiplier à droite par , ça donne pleins de renseignements non ?

[invite4793db90]

Salut,

J'ai trouvé une solution à mon problème. Pour ceux que ça intéresse, essayez de multiplier à droite par , ça donne pleins de renseignements non ?

euh... J'avoue sècher sur ton problème initial et ne pas voir l'intérêt de multiplier par .

M'enfin si tu as trouvé la réponse à ta question, c'est le principal !

Cordialement.

[invitedf667161]

Méa culpa, il faut multiplier par à droite.

En faisant cela, on trouve la matrice nulle. Cela veut dire que chacune des colonnes de la matrice donne un vecteur qui est dans le noyau de , de là à déduire que les noyaux sont emboités, il n'y a qu'un pas (faire ce truc pour d=0, puis pour d=1 etc...) et ça donne en plus des bases (simples !) de ces noyaux.

En gros, c'est la fête !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Ah ben oui en effet.

Il fallait le voir !