équivalent "facile"

[invite1e5f0300]

Bonjour,

Je révisais mes équivalents et je lisais une ligne où il était écrit :

"On a facilement l'équivalent :

(n-1 / n)^n² équivalent en +oo à exp(-n)*exp(-1/2)"

Et je dois dire que ça ne me saute déjà pas aux yeux...
Et ensuite en essayant de le refaire rapidemment (en pensant y passer 20secondes à peine) je n'y arrive pas !

Je sais bien sûr (trivialissime, là dessus nous sommes d'accord) : exp[n²*ln(1-1/n)] équivalent en +oo à -n

Mais il est impossible de composer un équivalent par une fonction (sauf cas du ln avec des fonctions qui ne tendent pas vers 1) et a fortiori on ne prend pas l'exponentiel d'un équivalent !
Donc ça ne permet pas de conclure.

Ceci étant, je ne vois pas comment trouver cet équivalent "facilement"


Merci beaucoup d'avance,
Cdt.
-----

[invite4ef352d8]

Salut !


j'ai l'impression qu'il y a plein de contradiction dans ce que tu dis vis a vie des expressions :S
n'aurait tu pas fais quelques erreur en tapant ton messages ???


sinon, pour pouvoir "appliquer une fonction à un equivalent", il faut remplacer l'équivalent par un dévelopemet assymptotique suffisement fin (avec des o donc...) et utiliser un dévelopement assymptotique de la fonction.


par exemple, pour passer (si c'est possible, en géneral c'est faux ^^ ) de f~g a exp(f)~exp(g), il faudrait montré que f=g+o(1), et a ce moment on obtiendrai exp(f)~exp(g)

en géneral d'ailleur, on obtiens plutot une constante k telle que f=g+k+o(1), et on a dans ce cas f~exp(k)*exp(g)

c'est le genre de chose qu'il faudratfaire ici.

[invite1e5f0300]

Je ne vois pas très bien où tu veux en venir, tu veux que je fasse quoi concretement ?

Je n'ai pas fait d'erreur de frappe, les espaces étaient là pour ne pas alourdir, mais je peux rajouter les parenthèses et ça donne :

"On a facilement l'équivalent :

{(n-1) / n}^n² équivalent en +oo à exp(-n)*exp(-1/2)"

Je ne vois toujours pas le caractère "facile", "immédiat" et "habituel" de ce calcul, j'aurais bien aimé que tu me sortes un truc lumineux, qui semble évident. Un calcul de génie qui me montre bien la simplicité de la chose.
Parce que là j'avoue que...

[invite1e5f0300]

Je crois que j'ai très bien compris ce que tu m'as expliqué en fait, j'ai réagit un peu vite.

Tu pourrais juste m'expliquer d'où vient ce que tu avances (tu as l'air sûr de toi - et tu sembles avoir raison- et j'aimerais moi aussi être sur de moi et de ce calcul, ça pourrait me reservir).

Donc j'ai bien compris, j'ai pris :

la première fois :

f(n)=n²*ln[1 - 1/n]=n²*[ -1/n +o(1/n) ]

Ce qui ne marchait pas parce qu'il me restait du o(n)

et la deuxième fois :

f(n)=n²*ln[1 - 1/n]=n²*[ -1/n -(1/n)²/2 +o(1/n²) ]

d'où f(n) = -n -1/2 + o(1)

et là j'ai gagné parce que j'ai du o(1), j'ai donc pris un dév. asympt. suffisamment fin pour arriver au o(1).


Je semble être dans le bon là, dis moi juste d'où vient le théorème qui permet d'être sur de son calcul.
Merci bcp en tout cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e5f0300]

Mmhh... Mais tu ne t'es pas juste servi de l'équivalence vue en SUP :

exp(f)~exp(g) <=> f-g tend vers 0 <=> f=g+o(1) ?

Est-ce que ce genre de choses est valide avec d'autres fonctions ?
Par quel théorème ?

[invite6b1e2c2e]

Salut,

En fait, dès que h est continue, si f a une limite finite en a, on a

h(f(x))~h(g(x)), x->a <= f(x)=g(x)+o(1), x -> a

Si f n'a pas de limite finie, ça marche aussi si tu rajoutes une condition d'uniforme continuité sur h.

__
rvz