Escargot sur un élastique qui se dilate

[Bleyblue]

Bonjour,

Je suis occupé à essayer de résoudre un problème ou il est question d'un élastique (supportant un escargot) (mesurant 1m) qui chaque soir est dilaté d'1 m supplémentaire (vers la droite)

Si xn désigne la distance du bord gauche jusqu'a l'escargot avant la nième dilation, il semblerait qu'on ait la relation :



Pourriez-vous m'expliquer d'ou provient cette relation ? J'ai beau y réfléchire je ne vois pas ... comment suis-je sensé savoir de combien se dilate ce bout d'élastique ? C'est de la physique ça, pas des math

merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
Tu peux voir la dilatation comme une multiplication de toutes les distances par un facteur a (c'est le cas car l'expansion est homogène).
La distance entre l'origine et l'escargot passe donc de xn à a.xn. Maintenant, que vaut a ? Si tu regardes la distance entre les deux bouts de l'élastique, tu as : n+1=a.n.

C'est facile, c'est comme en cosmologie !

[Bleyblue]

Ahhh oui, bien vu ça ... typique des raisonnements que j'ai du mal à pondre.

Je n'ai jamais fait de cosmologie donc je ne comprends pas l'allusion

merci

[invite88ef51f0]

En cosmologie, on a la même chose pour décrire un univers en expansion. On introduit un facteur d'échelle a qui dépend du temps, et une distance qui vaut a₀d maintenant, valait a(t)d avant... C'est exactement la même chose, les escargots en moins !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah, intéressant.

Moi j'aime bien l'hypothèse des physiciens selon laquelle l'univers aurait la forme d'un donut (d'un tore)
Je ne comprendrai sans doute jamais comment ils peuvent arriver à des conclusions pareilles mais c'est drôle

[invite7af75ce8]

L'observation tout simplement ?

[Bleyblue]

Pour moi la seule façon d'arriver à la conclusion qu'un objet à la forme d'un autre objet c'est d'observer l'objet et de le constater

Mais ici je ne vois pas comment on pourrait observer l'univers vu qu'il n'y a rien en dehors de ce dernier (ou alors je me trompe ? il y a quelque chose en dehors de l'univers ?)

[invite6acfe16b]

Pour moi la seule façon d'arriver à la conclusion qu'un objet à la forme d'un autre objet c'est d'observer l'objet et de le constater

Mais ici je ne vois pas comment on pourrait observer l'univers vu qu'il n'y a rien en dehors de ce dernier (ou alors je me trompe ? il y a quelque chose en dehors de l'univers ?)

Bonjour,

J'aime bien cette hypothèse. Luminet est un cosmologiste qui pense que l'univers aurait la forme d'une sphère de Poincaré (un espace topologique ressemblant à un dodécaèdre). Il arrive à cette conclusion en observant les harmoniques du fond difus cosmologiste et en voyant que celles-ci conviendraient mieux à un univers en forme de sphère de Poincaré.

[invite986312212]

Pour moi la seule façon d'arriver à la conclusion qu'un objet à la forme d'un autre objet c'est d'observer l'objet et de le constater

Mais ici je ne vois pas comment on pourrait observer l'univers vu qu'il n'y a rien en dehors de ce dernier (ou alors je me trompe ? il y a quelque chose en dehors de l'univers ?)

je suppose qu'il s'agit d'un tore à 3 dimensions. si c'est le cas, tu peux le voir comme un cube dans lequel les faces opposées sont identifiées. Alors, si tu es à l'intérieur du cube et que tu regardes une face, tu dois voir la même chose que si tu regardais à travers la face opposée depuis l'extérieur du cube. En d'autres termes, tu dois te voir toi-même de dos (avec un bon télescope).

[Bleyblue]

D'accord, mais pour moi dire que l'univers à la forme d'un objet en 3 dimensions c'est sous entendre que l'univers possède un intérieur et un extérieur ... ce qui me semble absurde car pour moi l'univers ça englobe tout ce qui peu exister (donc ça n'a pas d'extérieur car s'il y avait quelque chose à l'extérieur de l'univers, et bien ça serait dans l'univers)
Maintenant ma définiton de l'univers n'est peut-être pas bonne ...

[invite986312212]

salut,

tu devrais lire "flatland" d'Edwin Abbot. Il y est question d'un monde "fini" (=compact) et sans extérieur. J'en ai une version pdf, je peux te l'envoyer pas mail privé.

[invite88ef51f0]

D'accord, mais pour moi dire que l'univers à la forme d'un objet en 3 dimensions c'est sous entendre que l'univers possède un intérieur et un extérieur ...

Non. Aussi difficile que ça puisse être à imaginer, il n'y a pas besoin d'extérieur ou de dimension supplémentaire pour concevoir mathématiquement un espace compact.

[invite8ef897e4]

Bonjour

D'accord, mais pour moi dire que l'univers à la forme d'un objet en 3 dimensions c'est sous entendre que l'univers possède un intérieur et un extérieur

Mais il ne s'agit pas de cela ici. A priori ce que l'on appelle "tore" est une surface fermee a 2 dimensions, que l'on visualise habituellement comme "une chambre a air" ou un "doghnut" plonge dans nos trois dimensions habituelles. Alternativement, on peut dire que ce tore est un rectangle dont on a identifie les cotes opposes. Ainsi par exemple, tu peux imaginer que ton ecran d'ordinateur a les bords haut et bas identifies, ainsi que les bords gauche et droit. C'est assez facile, et c'est souvent le cas dans les jeux videos. Lorsque le personnage quitte l'ecran par la droite, en fait il rentre par la gauche. Et pareil pour haut et bas.

Maintenant, imagine toi que cet ecran est en fait dans un plan infini et se repete periodiquement dans les 2 dimensions. Tu vois que cette fois le personnage peut parcourir le meme chemin qu'avant dans ce nouvel espace sans jamais faire de "saut" : il avance continuement mais nous avons identifie les points du plan periodiquement selon les translations dans les deux dimensions. Chaque translation utilisee pour l'identification des points correspond a la translation du plan (avant periodisation) transformant l'un des bords en l'autre parallele. Ton ecran "pave" le plan en quelque sorte.

Nous avons alors construit le tore comme la "cellule" fondamentale issue de ce processus d'identification periodique.

Quel est l'avantage de cette construction ? Plein d'avantages ! D'abord, nous avons vu qu'il etait tres simple de visualiser la trajectoire du personnage sur le tore comme une trajectoire ordinaire sur le plan, sans "saut" discret, continuement, comme sur un vrai tore. Un autre avantage est que la construction est facilement generalisable a un nombre quelconque de dimensions.

Et ce qui est genial, c'est qu'on peut faire des predictions quant a ce que l'on observerait si notre Univers etait vraiment un tel "tore". Et ces predictions sont testables ! C'est vraiment une theorie scientifique, pas juste une elucubration.

[invite986312212]

le tore à 3 dimensions, c'est tout comme, sauf qu'on part d'un cube et que quand le personnage du jeu vidéo sort par une face, il rentre par la face opposée. Mais ce n'est pas la seule variété tridimensionnelle sans bord. Je crois d'ailleurs qu'elles ne sont pas toutes classifiées contrairement aux surfaces. Un spécialiste peut-il confirmer?

[Bleyblue]

Non. Aussi difficile que ça puisse être à imaginer, il n'y a pas besoin d'extérieur ou de dimension supplémentaire pour concevoir mathématiquement un espace compact.

Compact ? Comme en topologie ?

Merci bien pour vos explications en tout cas, je pense que c'est moi qui avait une vision trop simpliste de la chose (je m'en doutais en même temps...)

[invite88ef51f0]

Compact ? Comme en topologie ?

Oui, oui. Vu qu'on est en physique, ça veut juste dire fermé et borné. Fermé : il n'y a pas de "bord" de l'univers. Borné : l'univers est fini.

De même, on peut dire que la surface de la Terre est compacte.

[Bleyblue]

Ah d'accord

Intéressant comme théorie. Il faudrait que j'arrive à me défaire de l'idée selon laquelle si quelque chose est fini c'est qu'il existe autre chose en dehors de cette dernière ...

(c'est fou comme à partir d'une problème d'escargots on en arrive à parler des dimensions de l'univers )

merci

[invite986312212]

Ah d'accord

Intéressant comme théorie. Il faudrait que j'arrive à me défaire de l'idée selon laquelle si quelque chose est fini c'est qu'il existe autre chose en dehors de cette dernière ...

c'est le but de ce bouquin que j'ai cité: Flatland. Imagine des êtres à deux dimensions, qui vivent sur la surface d'une sphère (i.e. sur une sphère au sens mathématique). N'ayant que deux dimensions, aussi bien l'intérieur de la sphère que l'espace non borné à l'extérieur de la sphère n'ont de réalité pour eux. Leur monde est fini (la sphère est bornée) et n'a pas de bord: s'ils avancent droit devant eux, ils finissent par se retrouver à leur point de départ sans avoir rencontré le "bout du monde".

L'univers pourrait être un équivelant à 3 dimensions. Le problème c'est qu'il y a plein de variétés différentes (le tore dont on a parlé mais aussi la sphère et des variétés plus exotiques, je ne suis pas sûr qu'on les connaisse toutes).

[Bleyblue]

N'ayant que deux dimensions, aussi bien l'intérieur de la sphère que l'espace non borné à l'extérieur de la sphère n'ont de réalité pour eux. Leur monde est fini (la sphère est bornée) et n'a pas de bord: s'ils avancent droit devant eux, ils finissent par se retrouver à leur point de départ sans avoir rencontré le "bout du monde".

L'univers pourrait être un équivelant à 3 dimensions. Le problème c'est qu'il y a plein de variétés différentes (le tore dont on a parlé mais aussi la sphère et des variétés plus exotiques, je ne suis pas sûr qu'on les connaisse toutes).

Hum ... tout ce que vous me dites la me permet de comprendre un peu mieux pourquoi les physiciens pensent que l'univers à peut-être "la forme d'un tore".

Mais il 'en reste pas moins que lorsqu'on entend dire que, l'univers à la forme d'un donut, c'est comique


merci !