Voilà j'étudie ce sujet et je suis confronté à une démo que je ne comprends pas...
(on se trouve sur un corps, dont la caractéristique peut être 2)
est un espace anistropique si
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est "séparé?" (split en anglais) s'il existe
sous espace égal à son complément orthogonal. (autrement dit
.)
On noteet on l'appelle l'index d'isotropie la dimension maximale d'un sous-espace
de
orthogonal à lui-même (i.e.
.).
On a l'inégalité:
Mon problème vient dans la démonstration du Lemme suivant:
siest anisotropique, et
est un espace arbitraire, alors:
(ou ledésigne une somme orthogonale)
Pour ca on introduit le lemme suivant (que je comprends, et dont je saute la démo à moins que...):
Avec les espaceset
comme ci-dessus, il existe un sous espace
de rang
si et seulement si il existe un sous-espace
de rang
et une anti-isométrie
(une anti-isométriea pour propriété/définition:
pour tous
)
Maintenant la fameuse démo du lemme précédent que je comprends pas:
Par induction sur le rang de.
On peut supposer quecar sinon c'est la première inégalité qui suffit.
Prenons donc une anti-isométrie (et c'est ça qui me gêne: comment en trouver une?)avec
, on va trouver un majorant de la dimension de
. Soit
le noyau de
, et
son complémentaire en somme directe, tel que:
et
.
Alorss'injecte dans
, et donc
est anisotropique. Par construction (que je saute) on montre facilement que
est un espace avec une structure de produit aussi et que:
Ici viens la récurrence sur la dimension de, on a:
.
Mais, donc
est un sous espace de
orthogonal à lui-même aussi. Donc:
.
En ajoutant ces deux inégalités, avec en plusdes deux côtés, on obtient:
et le lemme dont j'ai compris la démo (le dernier) donne enfin:
, ce qui devrait terminer la démo.
Mon seul problème est (encore une fois) la preuve de l'existence d'une anti-isométrie à la base.
Si quelqu'un peut m'aider....
merci d'avance
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