Anisotropic inner product spaces

[invite0076beb8]

Voilà j'étudie ce sujet et je suis confronté à une démo que je ne comprends pas...


(on se trouve sur un corps, dont la caractéristique peut être 2)

est un espace anistropique si


est "séparé?" (split en anglais) s'il existe sous espace égal à son complément orthogonal. (autrement dit .)

On note et on l'appelle l'index d'isotropie la dimension maximale d'un sous-espace de orthogonal à lui-même (i.e. .).

On a l'inégalité:


Mon problème vient dans la démonstration du Lemme suivant:

si est anisotropique, et est un espace arbitraire, alors:


(ou le désigne une somme orthogonale)

Pour ca on introduit le lemme suivant (que je comprends, et dont je saute la démo à moins que...):

Avec les espaces et comme ci-dessus, il existe un sous espace de rang si et seulement si il existe un sous-espace de rang et une anti-isométrie

(une anti-isométrie a pour propriété/définition: pour tous )

Maintenant la fameuse démo du lemme précédent que je comprends pas:

Par induction sur le rang de .
On peut supposer que car sinon c'est la première inégalité qui suffit.

Prenons donc une anti-isométrie (et c'est ça qui me gêne: comment en trouver une?) avec , on va trouver un majorant de la dimension de . Soit le noyau de , et son complémentaire en somme directe, tel que:

et .

Alors s'injecte dans , et donc est anisotropique. Par construction (que je saute) on montre facilement que est un espace avec une structure de produit aussi et que:



Ici viens la récurrence sur la dimension de , on a:

.

Mais , donc est un sous espace de orthogonal à lui-même aussi. Donc:

.

En ajoutant ces deux inégalités, avec en plus des deux côtés, on obtient:



et le lemme dont j'ai compris la démo (le dernier) donne enfin:

, ce qui devrait terminer la démo.

Mon seul problème est (encore une fois) la preuve de l'existence d'une anti-isométrie à la base.

Si quelqu'un peut m'aider....

merci d'avance
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[invite0076beb8]

excusez moi pour la petite faute avec une parenthèse qui s'est incurstée et qui fait apparaître deux "$"