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Inner product



  1. #1
    haraelendil

    Inner product


    ------

    Salut,

    Je me baladais sur un site en anglais et je suis tombé sur un Inner Product, quelqu'un pourrait me dire ça correspond à quoi en français svp?

    Merci

    -----

  2. #2
    Rincevent

    Re : Inner product

    s'lut

    tout simplement le produit intérieur

    [edit] euh, en fait je crois que des fois ils utilisent aussi ce terme pour un produit scalaire donc ça dépend du niveau/thème du truc en question...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  3. #3
    haraelendil

    Re : Inner product

    Lol, vu comme ça^^, et c'est exactement ce produit interieur??

  4. #4
    Rincevent

    Re : Inner product

    Citation Envoyé par haraelendil Voir le message
    c'est exactement ce produit interieur??
    si tu regardes des choses qui sont pas liées à "l'algèbre extérieure", c'est un produit scalaire. Si tu regardes des trucs liées à l'algèbre extérieure, c'est un truc qui à une forme extérieure d'ordre k et à un vecteur associe une forme extérieure d'ordre k-1.

    je complète au cas où je serais pas hors-sujet par rapport à ce que tu lisais : tu peux voir le produit scalaire usuel comme un cas particulier de produit intérieur dans lequel la forme extérieure est d'ordre k=1 et est celle associée par dualité au vecteur dont tu prends le produit scalaire avec le premier vecteur mentionné... suis pas sûr d'être très clair là... surtout si tu connais pas l'algèbre extérieure
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    haraelendil

    Re : Inner product

    Ba je connaissais pas dutout, merci bien, pi j'arriverai à me débrouiller, il y a quelques définitions données avec qui devrait sufire, pi au pire, je repasserai si quelquechose m'échape

  7. #6
    haraelendil

    Re : Inner product

    Re^^


    Merci

  8. #7
    Coincoin

    Re : Inner product

    Salut,
    Ici, il s'agit simplement d'un produit scalaire.

    Ce que tu dis est vraie si ta base est orthonormale.

    Il est conseillé de connaître les espaces vectoriels pour bien apprécier le formalisme de Dirac de la la physique quantique.
    Encore une victoire de Canard !

  9. #8
    haraelendil

    Re : Inner product

    Ok, merci, c'est bon, ici ma base est bien orthonormale

    (et pi c'est bon, je commence à m'y faire aux espaces vectoriels lol)

    Tiens, en parlant de ça, tu aurait un site, ou une explication sur le formalisme de Dirac, paske je l'utilise la vite fait, mais ça va pas plus loin lol

  10. #9
    GrisBleu

    Re : Inner product

    salut

    de mon point de vue (plutot maths), le formalisme de dirac permet d ecrire de maniere tres consice et "intuitive" ce qui se passe avec les produits scalaires / vecteurs / applications lineaires :
    est un vecteur
    est une forme lineaire
    est le produit scalaire des vecteurs a et b
    est le projecteur sur v
    etc...

    l idee est qu une forme lineaire a dans un espace hilbertien (ceux de la MQ je crois) est toujours representable par un produit scalaire:
    pour toute forme lineaire a, il existe une vecteur tel que et on ecrit dans le formalisme de dirac a par

    C est ce que j en avais compris.

    a+

  11. #10
    Coincoin

    Re : Inner product

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    pour toute forme lineaire a, il existe une vecteur tel que et on ecrit dans le formalisme de dirac a par
    C'est ce qu'on appelle l'espace dual (pour faciliter les recherches de Haraelendil).
    Encore une victoire de Canard !

  12. #11
    GrisBleu

    Re : Inner product

    Salut coincoin

    effectivement c est le dual. J ai une question: dans le cas d un espace vectoreil de dimension fini, le dual est isomorphe a l espace de depart (on les identifie meme avec la notation de dirac), mais dans le cas des espaces hilbertiens ce n est plus vrai. Dans le cas des espaces de la MQ, qu en est il ? Si je me souviens bien, le dual de L2 c est lui meme, mais en MQ, travaille t on toujours avec L2 ?

    @+

  13. #12
    rvz

    Re : Inner product

    Salut Vlad,

    Je me souviens m'être posé cette question un jour pas si lointain.
    Tout d'abord, tous les espaces hilbertiens sont isomorphes à leurs duals, via le produit scalaire.

    En mécanique quantique, si mes souvenirs sont exacts, tu as une fonction probabilité de présence dont l'intégrale au carré doit faire 1. Donc tu es dans L^2, et tu es même dans la boule unité de L^2.
    Ensuite, quand tu calcules des impulsions, et des trucs de ce genre, tu te retrouves en général à travailler dans des L^2 à poids si tu travailles sur la variable x, ou alors sur des H^1 à poids.
    En tout cas, toutes les identifications avec le dual marche bien.

    Un petite remarque tout de même.
    On a H^1 inclus dans L^2, donc le dual de H^1 est plus gros que le dual de L^2. Donc si tu identifies L^2 avec son dual et H^1 avec son dual, tu obtiens que tous ces espaces sont inclus les uns dans les autres et donc que L^2 = H^1 !
    Le problème vient bien sur de l'identification (les diagrammes ne sont pas commutatifs aurait dit Martini Bird ou autre géomètre, non ?). Tu ne peux pas identifier tous les duaux en même temps. Du coup, en général, on identifie L^2 avec lui même et on n'identifie pas les autres...

    __
    rvz

  14. #13
    martini_bird

    Re : Inner product

    Salut,

    pour ma part je dirais qu'il y a un amalgame (dans la plupart des cas justifié via les isomorphismes canoniques - entre un Hilbert et son dual par exemple) entre le crochet de dualité qui est une application de et "le" produit scalaire (ou plus généralement une forme bilinéaire) qui est une application de .

    A noter que la notation (crochets / parenthèses) joue un rôle dans le contexte.

    Cordialement.

    [EDIT] Il existe aussi une notion de produit intérieur d'une forme différentielle par un champ de vecteur... qui revient presque à un crochet de dualité puisqu'une forme différentielle est une section du fibré cotangent, "dual" du fibré tangent !
    Dernière modification par martini_bird ; 14/08/2006 à 15h04.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #14
    GrisBleu

    Re : Inner product

    Salut

    En fait, apres avoir cherche sur Wikipedia, j ai trouve ce que je cherchais
    - le dual defini comme l ensemble des formes lineaires n'a effectivement pas d isomorphisme naturel(qu on aurait pu qualifier de canonique) avec l espace de depart
    - le dual defini comme l ensemble des formes linaires continues apparemment permet de definir un isomorphisme canonique. Dans le cas de Lp, on a Lp est isomorphe a Lq avec 1/q + 1/p=1, donc le dual continu de L2 est lui meme

    Il y a meme un lien vers des exemples de formes lineaires non continues... je vais regarder plus en details, mais ca ferait un joli contre exemple

    ++

    vlad

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