Inner product

**haraelendil** · 13/08/2006, 17h02

Salut,

Je me baladais sur un site en anglais et je suis tombé sur un Inner Product, quelqu'un pourrait me dire ça correspond à quoi en français svp?

Merci

**Rincevent** · 13/08/2006, 17h05

s'lut

tout simplement le produit intérieur

[edit] euh, en fait je crois que des fois ils utilisent aussi ce terme pour un produit scalaire

donc ça dépend du niveau/thème du truc en question...

**haraelendil** · 13/08/2006, 17h08

Lol, vu comme ça^^, et c'est exactement ce produit interieur??

**Rincevent** · 13/08/2006, 17h22

Envoyé par haraelendil

c'est exactement ce produit interieur??

si tu regardes des choses qui sont pas liées à "l'algèbre extérieure", c'est un produit scalaire. Si tu regardes des trucs liées à l'algèbre extérieure, c'est un truc qui à une forme extérieure d'ordre k et à un vecteur associe une forme extérieure d'ordre k-1.

je complète au cas où je serais pas hors-sujet par rapport à ce que tu lisais : tu peux voir le produit scalaire usuel comme un cas particulier de produit intérieur dans lequel la forme extérieure est d'ordre k=1 et est celle associée par dualité au vecteur dont tu prends le produit scalaire avec le premier vecteur mentionné... suis pas sûr d'être très clair là...

surtout si tu connais pas l'algèbre extérieure

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**haraelendil** · 13/08/2006, 18h14

Ba je connaissais pas dutout, merci bien, pi j'arriverai à me débrouiller, il y a quelques définitions données avec qui devrait sufire, pi au pire, je repasserai si quelquechose m'échape

**haraelendil** · 13/08/2006, 18h48

Re^^

Merci

**Coincoin** · 13/08/2006, 18h53

Salut,
Ici, il s'agit simplement d'un produit scalaire.

Ce que tu dis est vraie si ta base est orthonormale.

Il est conseillé de connaître les espaces vectoriels pour bien apprécier le formalisme de Dirac de la la physique quantique.

**haraelendil** · 13/08/2006, 19h01

Ok, merci, c'est bon, ici ma base est bien orthonormale

(et pi c'est bon, je commence à m'y faire aux espaces vectoriels lol)

Tiens, en parlant de ça, tu aurait un site, ou une explication sur le formalisme de Dirac, paske je l'utilise la vite fait, mais ça va pas plus loin lol

**GrisBleu** · 14/08/2006, 00h07

salut

de mon point de vue (plutot maths), le formalisme de dirac permet d ecrire de maniere tres consice et "intuitive" ce qui se passe avec les produits scalaires / vecteurs / applications lineaires :
$\text{[math]}$ est un vecteur
$\text{[math]}$ est une forme lineaire
$\text{[math]}$ est le produit scalaire des vecteurs a et b
$\text{[math]}$ est le projecteur sur v
etc...

l idee est qu une forme lineaire a dans un espace hilbertien (ceux de la MQ je crois) est toujours representable par un produit scalaire:
pour toute forme lineaire a, il existe une vecteur $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et on ecrit dans le formalisme de dirac a par $\text{[math]}$

C est ce que j en avais compris.

a+

**Coincoin** · 14/08/2006, 09h51

Envoyé par wlad_von_tokyo

pour toute forme lineaire a, il existe une vecteur $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et on ecrit dans le formalisme de dirac a par $\text{[math]}$

C'est ce qu'on appelle l'espace dual (pour faciliter les recherches de Haraelendil).

**GrisBleu** · 14/08/2006, 14h35

Salut coincoin

effectivement c est le dual. J ai une question: dans le cas d un espace vectoreil de dimension fini, le dual est isomorphe a l espace de depart (on les identifie meme avec la notation de dirac), mais dans le cas des espaces hilbertiens ce n est plus vrai. Dans le cas des espaces de la MQ, qu en est il ? Si je me souviens bien, le dual de L2 c est lui meme, mais en MQ, travaille t on toujours avec L2 ?

@+

invite6b1e2c2e · 14/08/2006, 14h47

Salut Vlad,

Je me souviens m'être posé cette question un jour pas si lointain.
Tout d'abord, tous les espaces hilbertiens sont isomorphes à leurs duals, via le produit scalaire.

En mécanique quantique, si mes souvenirs sont exacts, tu as une fonction probabilité de présence dont l'intégrale au carré doit faire 1. Donc tu es dans L^2, et tu es même dans la boule unité de L^2.
Ensuite, quand tu calcules des impulsions, et des trucs de ce genre, tu te retrouves en général à travailler dans des L^2 à poids si tu travailles sur la variable x, ou alors sur des H^1 à poids.
En tout cas, toutes les identifications avec le dual marche bien.

Un petite remarque tout de même.
On a H^1 inclus dans L^2, donc le dual de H^1 est plus gros que le dual de L^2. Donc si tu identifies L^2 avec son dual et H^1 avec son dual, tu obtiens que tous ces espaces sont inclus les uns dans les autres et donc que L^2 = H^1 !
Le problème vient bien sur de l'identification (les diagrammes ne sont pas commutatifs aurait dit Martini Bird ou autre géomètre, non ?). Tu ne peux pas identifier tous les duaux en même temps. Du coup, en général, on identifie L^2 avec lui même et on n'identifie pas les autres...

__
rvz

**martini_bird** · 14/08/2006, 14h58

Salut,

pour ma part je dirais qu'il y a un amalgame (dans la plupart des cas justifié via les isomorphismes canoniques - entre un Hilbert et son dual par exemple) entre le crochet de dualité $\text{[math]}$ qui est une application de $\text{[math]}$ et "le" produit scalaire (ou plus généralement une forme bilinéaire) $\text{[math]}$ qui est une application de $\text{[math]}$ .

A noter que la notation (crochets / parenthèses) joue un rôle dans le contexte.

Cordialement.

[EDIT] Il existe aussi une notion de produit intérieur d'une forme différentielle par un champ de vecteur... qui revient presque à un crochet de dualité puisqu'une forme différentielle est une section du fibré cotangent, "dual" du fibré tangent !

**GrisBleu** · 14/08/2006, 15h32

Salut

En fait, apres avoir cherche sur Wikipedia, j ai trouve ce que je cherchais
- le dual defini comme l ensemble des formes lineaires n'a effectivement pas d isomorphisme naturel(qu on aurait pu qualifier de canonique) avec l espace de depart
- le dual defini comme l ensemble des formes linaires continues apparemment permet de definir un isomorphisme canonique. Dans le cas de Lp, on a Lp est isomorphe a Lq avec 1/q + 1/p=1, donc le dual continu de L2 est lui meme

Il y a meme un lien vers des exemples de formes lineaires non continues... je vais regarder plus en details, mais ca ferait un joli contre exemple

++

vlad

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