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analyse combinatoire ( lancé de dés)



  1. #1
    alex022

    analyse combinatoire ( lancé de dés)


    ------

    J'ai un problème avec cet exercice. On lance 4 dés équilibrés et on demande la probabilité que les résultats soient tous différents. ce que je ne comprends pas c'est que le fait de considérer qu'on lance les quatres dés en même temps change la probabilité par rapport à quand on lance les quatres dés l'un après l'autre...

    -----

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  3. #2
    prgasp77

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Je pense qu'il s'agit d'un paradoxe ou d'un sophisme, car la probabilité est bien la même selon que l'on fasse un lancé de quatre dés ou quatre lancés d'un dé.

    Peux-tu nous proposer une démonstration que l'on cherche l'erreur ?

  4. #3
    invite431

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Bonjour,

    Vu que je n'en suis plus à une bêtise près, je dirais,

    Un dé à la fois,

    Dé 1 => 1
    Dé 2 => 5/6
    Dé 3 => 4/6
    Dé 4 => 3/6

    Résultat 5/18

    Les quatre dés, les possibilités sont équiprobables

    3/6 * 3/6 * 3/6 * 3/6 = 1/16

  5. #4
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Un dé à la fois,

    Dé 1 => 1
    Dé 2 => 5/6
    Dé 3 => 4/6
    Dé 4 => 3/6
    Résultat 5/18

    Je suis d'accord, mais tous les dés ensembles : qui est égal à 5/18.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    le problème c'est que si on fait tous les dés ensembles, on obtient
    C64/C6+4-14 car dans le cas où l'on lance les quatres dés en même temps, l'ordre n'a pas d'importance... mais ce que je n'arrive pas à trouver c'est le lien entre le fait de lancer les quatres dés en même ou de les lancer l'un après l'autre

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Murzabov

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Essaye de te poser la question avec 2 des seulement (quitte a ecrire les 36 resultats possibles....)

    De maniere plus generale pour tous ces problemes en "resultats tous differents" et il est souvent plus simple de resoudre "resultats tous identiques" et de dire que ce qu'on cherchait etait le complement.

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  10. #7
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par Murzabov Voir le message
    De maniere plus generale pour tous ces problemes en "resultats tous differents" et il est souvent plus simple de resoudre "resultats tous identiques" et de dire que ce qu'on cherchait etait le complement.
    Pas tout à fait vrai : si le résultat est (1, 1, 2, 3) ce n'est ni "tous identiques" ni "tous différents". Le complément de "tous différents" est "au moins 2 identiques".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Murzabov

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pas tout à fait vrai : si le résultat est (1, 1, 2, 3) ce n'est ni "tous identiques" ni "tous différents". Le complément de "tous différents" est "au moins 2 identiques".
    Au temps pour moi... le raisonnement sur 2 des seulement ne s'etend pas immediatement a 4

  12. #9
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    ben je l'ai fait avec deux dés , même trois quatre et cinq.
    Prenons par exemple quelle est la probabilité d'avoir une paire:
    on lance les deux dés en même temps
    Le nombre de cas différents avec deux dés est 21
    (ça revient à mettre 2 boules dans 6 urnes avec autant de boules que tu veux dans chaque urne).
    Le nombre de paire est 6
    => P=6/21
    on lance les deux dés l'un après l'autre
    P=6/36=1/6

  13. #10
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par alex022 Voir le message
    Le nombre de cas différents avec deux dés est 21
    Non, 36. Tu n'as qu'à imaginer que tu as un dé rouge et un bleu...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    je suis désolé mais je pense que dans le 1er cas l'ordre n'a pas d'importance

  15. #12
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par alex022 Voir le message
    je suis désolé mais je pense que dans le 1er cas l'ordre n'a pas d'importance
    Et le fait qu'en pensant cela ton résultat soit faux ne t'interpelle pas ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    prgasp77

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Non, 36. Tu n'as qu'à imaginer que tu as un dé rouge et un bleu...
    En effet alex022, que les dés soient colorés ou qu'ils soient différentiables d'une quelconque manière que ce soit (libre à toi d'être très imaginatif) ne modifie pas les probabilités.

    Si tu veux t'en persuadé, pose proprement ton problème (pour ma part, 80% de mes erreurs en proba vient d'une approximation abusive du problème - les 20% restant étant dues aux erreurs de calcul) : définit ton univers, tes évènements ...

  18. #14
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    mais je n'arrive pas à voir l'erreur de raisonnement... :s

  19. #15
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Tu as 2 dès chacun pouvant se trouver dans 6 états ==> 36 états (imagines que les dés sont de couleurs différentes, que l'un est marqué avec des ronds noirs et l'autre avec des carrés blancs, etc...)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #16
    Bleyblue

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Salut,

    (Je fiche mon grain de sel dans l'histoire car j'ai aussi essayé de résoudre le problème )

    Pour ma part je rejoins le point de vue d'alex. Ici on considère que les 4 dés sont identiques non ? (qu'on tombe sur 4,1,2,3 ou 1,3,2,4 c'est pareil)

    Moi je tombe donc sur 5/42 soit la réponse donnée par alex dans son deuxième message

  21. #17
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    (qu'on tombe sur 4,1,2,3 ou 1,3,2,4 c'est pareil)
    Oui en ce sens que ces 2 résultats sont acceptables (mais dans ce sens 1, 2, 3, 4 et 2, 3, 4, 5 c'est pareil aussi) non en tant qu'évènement, la preuve, tu as écrit deux choses différentes.
    Imagine une fausse pièce avec 2 côtés piles, dans le jeu de pile ou face on peut dire que l'une ou l'autre face c'est pareil, mais en tant qu'événement, la pièce peut tomber sur une face ou sur l'autre, il y a bien 2 événements (physiques) possibles. Supposons que sur cette pièce, une petite rayure permet de distinguer les deux faces et que tu la lances 100 fois, tu notes 49 fois la face sans rayure, 49 fois la face sans rayure et 2 fois la tranche, est-ce que tu vas dire que la probabilité d'avoir la tranche est de 2/100 ou de 2/49 (parce que tu ne tiens pas compte des lancers avec rayure, puisque c'est pareil) ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    pour moi ce n'est pas la même chose pcq tu dois compter les lancés avec la face rayée mais tu les considère comme identiques à la face non rayée donc tu as toujours bien une probabilité de 2/100 pour la tranche et alors tu as une probabilité de 98/100 pour qu'elle tombe sur une face.

    Pour le cas des dés c'est différent... j'ai l'impression que qd on lance le premier dé et qu'on le regarde avant de lancer le deuxième dé on fixe un ordre qu'il n'y a pas si on lançait les quatres dés en même temps. Remarque que si on les quatre dés les uns après les autres sans regarder les résultats entre chaque lancer ça revient à lancer les quatre ensemble...

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  24. #19
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par alex022 Voir le message
    pour moi ce n'est pas la même chose pcq tu dois compter les lancés avec la face rayée mais tu les considère comme identiques à la face non rayée donc tu as toujours bien une probabilité de 2/100 pour la tranche et alors tu as une probabilité de 98/100 pour qu'elle tombe sur une face.
    Et pourquoi tu ne fais pas exactement le même raisonnement pour les dés ?
    Pour compter les lancers de 2 dés dont le total est 3, tu peux avoir 1 sur le dé rouge et 2 sur le dé bleu ou 2 sur le dé rouge et 1 sur le dé bleu, tu comptes bien ces deux cas, mais tu les considères comme identiques du point de vue de la somme (j'insiste : c'est exactement ton raisonnement ).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #20
    Bleyblue

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Ahh ... je pense que je commence à comprendre.

    Mais dans ce cas, si on me pose les questions :

    1) Si je lance 4 dés, quelle est la proba que les 4 chiffres soient tous différents ?

    2) Combien y a-t'il d'issues différentes à l'expérience aléatoire : "lancer 4 dés"

    Le nombre de cas possibles n'est pas identique ?

    merci

  26. #21
    Médiat

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    1) Si je lance 4 dés, quelle est la proba que les 4 chiffres soient tous différents ?

    2) Combien y a-t'il d'issues différentes à l'expérience aléatoire : "lancer 4 dés"

    Le nombre de cas possibles n'est pas identique ?
    Le nombre de cas est dans les deux cas, dans le premier cas tu dois aussi compter les "cas favorables" ( ) et diviser ce nombre par
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    Bleyblue

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Mais alors la je ne comprend plus car on compte bel et bien deux fois les cas tels que :

    1,2,3,4 et 2,1,3,4

    et c'est peut-être nécessaire pour le calcul de proba mais si je jette 4 dés identique il n'y en a aucune.

    En tout cas si je vais voir ici : http://www.gymnase-morges.ch/docs/Ma...xercices1.html (exercice 27)

    Ils font pareil que ce que je dis ...

  28. #23
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    moi je crois que je commence à comprendre. Dans cet exercice ils te demandent le nombre d'issues et non la probabbilité et c'est là toute la différence.
    Moi j'ai compris avec un cas à deux dés ( je sais plus qui a donné l'exemple). Disons que tu lances un dé rouge et un dé bleu tu as bien 36 possibilités. Si maintenant tu décides de ne pas tenir cmpte de la couleur, la probabilité ne peut changer... en fait ce qui va changer c'est les sous ensembles de ton espace fondamental. Ainsi tu n'as plus 23 et 32 mais tu as la paire (3,2) qui est représentée deux fois dans cet ensemble puisque l'ordre n'a pas d'importance. Donc il y a tjs bien 36 cas mais seulement 21 distincts

  29. #24
    Bleyblue

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Je pense que c'est ce que j'ai commencé à comprendre aussi avec les explications de Médiat.

    Mais donc il faudrait calculer le nombre de possiblité d'une manière différente en fonction du type d'exercice ... moi je peux pas ces exercices de proba j'y arriverai jamais

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  31. #25
    Taar

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Salut !

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Mais alors la je ne comprend plus car on compte bel et bien deux fois les cas tels que :

    1,2,3,4 et 2,1,3,4

    et c'est peut-être nécessaire pour le calcul de proba mais si je jette 4 dés identique il n'y en a aucune.

    ...
    Disons que tu lances deux dés (chacun non pipé avec six faces).

    Alphonse décide de noter le résultat sous la forme d'un couple comme (1;2).
    Le premier nombre du couple peut être le résultat du dé qui a le moins d'atomes, par exemple.
    Ou bien Alphonse a bonne vue et c'est le dé qui, dans ta main, était le plus proche de ton poignet avant le lancer.
    Ou bien, pour simplifier, Alphonse a décidé de baptiser un dé "dé rouge" et l'autre "dé bleu" alors qu'ils sont strictement identiques (il suffit que pendant l'expérience il suive bien des yeux celui qu'il a baptisé "dé rouge"). Et le premier nombre du couple est le résultat du "dé rouge".

    Avec ça, Alphonse observe qu'il y a 36 issues.

    Beth décide de noter le résultat sous la forme d'un ensemble comme {1;2} (un dé donne 1, un dé donne 2), ou {3} (les deux dés donnent 3). L'avantage de cette notation est qu'il n'y a pas d'ordre (ensemblistement, les notations {1;2} et {2;1} désignent le même objet).
    Elle peut également écrire l'issue sous la forme d'un 6-uplet, où chaque composante indique le nombre de fois qu'est apparue la face correspondante lors d'un tirage :
    - {1;2} est écrit (1;1;0;0;0;0)
    - {3;5} est écrit (0;0;1;0;1;0)
    - {2} est écrit (0;0;2;0;0;0)
    Avec ça, Beth observe qu'il y a 21 issues.


    On leur demande ensuite de calculer la probabilité de l'événement "la somme fait 4".

    Alphonse dit : l'événement est réalisé par les issues (1;3), (2;2), (3;1). Sa probabilité est donc 3/36.

    Beth dit : l'événement est réalisé par les issues {1;3} et {2}. Sa probabilité est donc ... aïe !

    Ce n'est pas parce qu'on ne fait pas très attention à l'expérience physique que la probabilité change. Si Beth répète l'expérience un grand nombre de fois, elle constatera qu'effectivement la fréquence s'approche de 1/12, pas de 2/21 ; et ce, bien que les dés soient "identiques".

    ----

    En fait :
    Les issues doubletons ont chacune la probabilité élémentaire 1/18.
    Les issues singletons ont chacune la probabilité élémentaire 1/36.
    Beth trouve bien 1/18+1/36=3/36.

    Autrement dit, bien que l'option prise par Beth soit élégante, elle aura besoin de la vision d'Alphonse pour calculer les probabilités de ses issues à elle.

    ---

    "On lance 7 dés identiques. Quel est le nombre d'issues de cette expérience ?"

    Ça dépend du point de vue. Il faudrait également dire ce qu'on appelle issue.

    Alphonse repèrera les dés dans ta main et te dira qu'il y en a 67.
    Beth te dira qu'il y en a (pour les spécialistes, autant que de monômes unitaires de degré 7 en X1, X2, ..., X6).

    Le problème de Beth, bien sûr, c'est que les issues qu'elle a comptées ne sont pas équiprobables, et que ça ne va pas arranger ses calculs ultérieurs.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 06/06/2007 à 22h00.

  32. #26
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Mais donc dans cet exercice, la probabilité doit aussi être invariante quel
    que soit le cas formulé):
    on a un distributeur avec trois canettes A,B et C (illimité) et on a dix personnes qui viennent prendre une canette.
    Si on calcule le nombre de cas possible on a 12choose3.
    Mais si on regarde par exemple la probabilité d'avoir dix canettes du C on doit peut calculer comme si l'ordre avait de l'importance non?

  33. #27
    Taar

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    Il y a
    • 310 issues avec la vision ordonnée
    • et effectivement issues possibles avec la vision non ordonnée

    Avec la vision ordonnée, la probabilité de ton événement "les dix canettes sont des C" est de 1/310 car les 310 issues sont équiprobables.

    Avec la vision non ordonnée, les issues ne sont pas équiprobables. Les issues sont des types suivants :
    • 0,0,10 (3 issues : (10,0,0) et (0,10,0) et (0,0,10) ), chacune ayant la probabilité élémentaire 1/310 ;
    • 0,1,9 (6 issues), prob. élém. 10/310 ;
    • 0,2,8 (6 issues), prob. élém. ;
    • 0,3,7 (6 issues), prob. élém. ;
    • 0,4,6 (6 issues), prob. élém. ;
    • 0,5,5 (3 issues), prob. élém. ;
    • 1,1,8 (3 issues), prob. élém. ;
    • 1,2,7 (6 issues), prob. élém. ;
    • 1,3,6 (6 issues), prob. élém. ;
    • 1,4,5 (6 issues), prob. élém. ;
    • 2,2,6 (3 issues), prob. élém. ;
    • 2,3,5 (6 issues), prob. élém. ;
    • 2,4,4 (3 issues), prob. élém. ;
    • 3,3,4 (3 issues), prob. élém. .

    Ouf ! Les probabilités élémentaires ont été obtenues en raisonnant de façon ordonnée. Seule l'issue (0,0,10) réalise ton événement et on retrouve 1/310 pour sa probabilité.

    On trouve le même résultat dans les deux visions. Cependant, dans le cas "non ordonné", les probabilités élémentaires ont été trouvées en se référant au cas "ordonné" ; la vision "non ordonné" est donc un leurre.

    Taar.

  34. #28
    alex022

    Re : analyse combinatoire ( lancé de dés)

    ok merci bcp Taar; Grâce à toi j'ai compris

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