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Exo intégration



  1. #1
    Gpadide

    Exo intégration


    ------

    Bonjour,

    Soit f : [a,b] -> R+, continue. On note M = sup |f(x)| sur [a,b].

    Je cherche a montrer que :



    (la limite en +infini)

    J'ai essayé plusieurs choses mais je bloque completement en fait...
    Je me dis peut etre avec les logaritmes ou avec Riemann ?
    Mais je n'aboutis a rien...Auriez vous une idée plus précise ?
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    zinia

    Re : Exo intégration

    Bonjour

    Dans un sens l'inégalité ne pose pas de problème

    Dans l'autre sens, tu peux t'appuyer sur la continuité de f : il existe un petit intervalle [a',b']sur lequel f(x)>M-M€ et comme f est positive

    Il suffit de remarquer que b'-a' n'étant pas nul, la limite de est 1

  3. #3
    rvz

    Re : Exo intégration

    Salut,

    Je te propose plusieurs étapes:
    1/ Suppose que f(x) = M sur un sous intervalle. Démontre alors le résultat.

    2/ Sinon, près d'un maximum, tu dis que f(x) est > M-alpha, et en faisant comme précédemment, tu démontres que la limite inférieure est > M- alpha. Tu finis en disant que alpha est arbitraire.

    __
    rvz, qui serait curieux de voir ça fait avec des ingélaités de convexité (Jensen et Co)

  4. #4
    ericcc

    Re : Exo intégration

    Dans mon souvenir on découpait l'intégrale en 3 morceaux et on appliquait la méthode de Zinia

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Murzabov

    Re : Exo intégration

    La methode de zinia marche tres bien

    on peut juste remarquer en plus que quand n augmente c'est la partie de la courbe situee autour du sup qui contribue le plus significativement a l'integrale et meme quand n est a l'infini seul le sup compte... d'ou certaines notations de "normes infinies"

  7. #6
    rvz

    Re : Exo intégration

    Salut,

    La notation norme infinie fait parfaitement sens puisque ça définit une norme et que c'est la limite des normes L^p.

    Sinon la méthode de Zinia - qui coincide avec celle que je proposai- est effectivement tout à fait correcte. Je me demandais simplement si on ne pouvait pas essayer de démontrer ça avec des inégalités de convexité à la Jensen...

    __
    rvz

  8. #7
    GuYem

    Re : Exo intégration

    L'inégalité de Jensen amène rapidement que la limite est plus grande que .

    Mais je ne vois pas comment en tirer plus...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. #8
    rvz

    Re : Exo intégration

    Je suis bien d'accord avec toi, Guyem, je n'ai moi non plus pas réussi à en tirer plus, et il faut bien avouer que cette inégalité n'est pas top.

    En fait, je pensais éventuellement qu'on pouvait aussi utiliser la concavité du log, mais du coup, ça fait intervenir une intégrale du log dont je ne vois rien d'intelligent à faire.

    __
    rvz, qui se dit malgré tout que ça doit être possible.

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