Une matrice de Sn++...

[Gpadide]

Bonjour,

soit (a1,...,an) n réels. On considere la matrice :

S=s_ij = ai quand i<j
s_ij = aj quand i>j
s_ii = ai

(Désolé mais c'est un peu galere a tracer en Tex)

On me demande de montrer que S est définie positive ssi :

0<a1<...< an

J'ai développé le produit t(X)SX avec les coefficients, séparé en 2 sommes indicées par i>j et i<j mais la je trouve pas gd chose...
Auriez vous une idée ?
Merci.
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[ericcc]

Par récurrence, en utilisant le critère de Sylvester.

[invite9cf21bce]

Salut.

Je crois que l'idée d'écrire la forme quadratique est bonne.

 Cliquez pour afficher

Ne pas oublier de contrôler que les formes linéaires sous-jacentes forment une famille libre.

Taar.

[Gpadide]

Pouvez vous détailler un peu svp ? Je ne connais pas le critere de sylvester et je ne vois pas ou mene la méthode de Taar...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Pouvez vous détailler un peu svp ? Je ne connais pas le critere de sylvester et je ne vois pas ou mene la méthode de Taar...

Bon je te le fais en dim 2.



Ce qui donne :


Quand à Sylvester, je connais un peu mais je ne sais pas si ça permet d'obtenir une CNS. Attendons le retour d'ericcc.

Taar.

[Gpadide]

Ok je vois l'ambiance, mais c'est rédigeable par récurrence ? Car la ca marche bien parce que tu utilises une identité remarquable pour le carré mais sinon...

[invite9cf21bce]

Ça m'a l'air de marcher tout seul en toute dimension...



Taar.

[invite9cf21bce]

Sinon tu peux écrire :



D'où

[invite35452583]

Sinon tu peux écrire :



D'où

Joli.

[ericcc]

Pour la démo par récurrence : le critère de Sylvester dit que le déterminant de toutes les matrices carrées ayant le coin en haut à gauche fixe doit être positif. La matrice composée de la première rangée et première colonne (a1 ici), puis les deux premières (diagonale a1 a2) etc...
Appelons Dn le déterminant de la n-ième matrice. On vérifie que c'est vrai à l'ordre 1 : a1>0. On suppose la propriété vraie à l'ordre n-1, et D_n-1 positif.
Calculons Dn en soustrayant l'avant dernière colonne de la dernière, et en développant par rapport à la dernière colonne. On trouve D_n=(a_n-a_n-1)D_n-1.
La CNS pour que D_n soit positif est donc que a_n>a_n-1

[ericcc]

Pour les puristes, il n'y a pas besoin de récurrence. On a vu que Dn=(an-an-1)Dn-1.
Or le critère de Sylvester dit que TOUS les Dn doivent être positifs. D1 donne a1>0, D2 donne donc a2>a1, et ainsi de suite jusque Dn.

[invite35452583]

Pour la démo par récurrence : le critère de Sylvester dit que le déterminant de toutes les matrices carrées ayant le coin en haut à gauche fixe doit être positif. La matrice composée de la première rangée et première colonne (a1 ici), puis les deux premières (diagonale a1 a2) etc...
Appelons Dn le déterminant de la n-ième matrice. On vérifie que c'est vrai à l'ordre 1 : a1>0. On suppose la propriété vraie à l'ordre n-1, et D_n-1 positif.
Calculons Dn en soustrayant l'avant dernière colonne de la dernière, et en développant par rapport à la dernière colonne. On trouve D_n=(a_n-a_n-1)D_n-1.
La CNS pour que D_n soit positif est donc que a_n>a_n-1

C'est plus simple et élégant que je ne pensais.