Un peu de réseau/arithmétique et compagnie

[GuYem]

Bonsoir à tous, voici l'amusement du soir :

J'ai quatre entiers non nuls . Je considère les deux droites passant par 0 de coefficients directeurs respectifs . Jusque là, ça va.

Maintenant, je suppose que ces droites ne se "coupent pas modulo ", sauf en 0. J'entends par là que, si j'identifie les cotés opposés du carré unité et que je trace les droites en sautant de bord en bord, je n'ai pas d'intersection, sauf 0. Pour ceux qui voient bien le tore, ça veut dire que les lacets que ces droites dessinent sur le tore ne se touchent qu'en un seul endroit.

Je veux montrer que, sous cette hypothèse, . Je pense que c'est une bonne idée de remarquer que cette dernière condition est équivalente au fait que les vecteurs forment une base du reseau


Toute aide est la bienvenue.
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[invité576543]

Bonsoir à tous, voici l'amusement du soir :

J'ai quatre entiers non nuls . Je considère les deux droites passant par 0 de coefficients directeurs respectifs . Jusque là, ça va.

Maintenant, je suppose que ces droites ne se "coupent pas modulo ", sauf en 0. J'entends par là que, si j'identifie les cotés opposés du carré unité et que je trace les droites en sautant de bord en bord, je n'ai pas d'intersection, sauf 0. Pour ceux qui voient bien le tore, ça veut dire que les lacets que ces droites dessinent sur le tore ne se touchent qu'en un seul endroit.

Je veux montrer que, sous cette hypothèse, . Je pense que c'est une bonne idée de remarquer que cette dernière condition est équivalente au fait que les vecteurs forment une base du reseau

Une remarque immédiate à la lecture, un truc que je ne comprend pas. La droite ne change pas si je remplace (p, q) par (np, nq), n>1. Or le respect de la condition proposée change alors. Ca semble être une contradiction, non?

Proposition, ajouter les contraintes p et q premiers entre eux, et r et s premiers entre eux dans l'énoncé...

Cordialement,

[GuYem]

Bien vu mmy, évidemment les fractions sont données sous formes irréductibles... Mon oubli.

[invité576543]

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Une piste sans démo rigoureuse (mais je ne sais pas si tu cherches toi-même, ou si tu poses un exercice; c'est une piste pour le premier cas, sous spoiler pour le deuxième cas!). |ps-qr| est aussi l'aire de la surface strictement interne au parallégramme O M1 M2 M1+M2. Un théorème (me rappelle plus du nom, et c'est de mémoire, je peux me tromper) dit que si une surface (convexe?) est d'aire > 1 alors elle contient au minimum un points du réseau Z². Or s'il y a un point du réseau strictement dans le parallélogramme, la droite passant par ce point et parallèle à D1 (resp. D2) coupe nécessairement OM2 (resp. OM1) à un autre endroit que l'origine. Je pense que cela permet de conclure, mais je n'ai pas poussé le raisonnement au bout.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Mouais... A me relire, c'est un peu frêle. J'aurais mieux fait de réfléchir plus loin avant de poster...

Cordialement,

[GuYem]

Pas mal du tout ton idée d'aire de parallélogramme, merci.
Moi ça me semble marcher, à cela près qu'il faut sûrement préciser qu'un parallélogramme d'aire > 1 et dont les coins sont sur le réseau contient un point du réseau dans son intérieur.

Tu as donc supposé |ps-qr| >1 et on cherche un point d'intersection autre que (0,0).

J'appelle A le point du réseau qui est strictement à l'intérieur du parallélogramme. La droite qui passe par A et parallèle à D_1 coupe OM_2 (le segment) ailleurs qu'en 0. Il me semble que cette intersection, ramenée dans le carré unité, donne une intersection de mes lacets sur le tore.

Tu trouves toujours cela un peu frêle ?

[invité576543]

Tu trouves toujours cela un peu frêle ?

Ben... Tu rephrases la piste proposée, mais les deux points difficiles (existence d'un point interne si surface >1, et le "il semble" dans ton texte) demandent un peu plus de rigueur, non?

Cordialement,

[invité576543]

Pour le premier point, j'ai trouvé en fouillant le théorème de Minkowski, http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski%27s_theorem, qui est différent de ce que j'ai indiqué, mais qui doit être utilisable de la même manière.

Je cite

The simplest application of the theorem concerns a convex figure symmetric about the origin and demonstrates that the figure will enclose at least one lattice point in addition to the origin if the area of the figure is greater than 4.

Suffit de prendre le parallélogramme dont les sommets sont v1-v2, v1+v2, -v1+v2 et -v1-v2. Sa surface est 4|ps-qr|.

Cordialement,

[GuYem]

Pour le premier point délicat, j'y crois. C'est super visuel et ton application du théorème de Minkowski m'a l'air bonne.

Pour le second point ("il me semble"), on peut préciser ainsi : j'appelle D'_1 la droite qui parallèle à D_1 qui passe par A et M l'intersection de D'_1 et D_2.
M est sur le segment OM_2 qui ne contient pas de point du réseau, donc M n'est pas un point du réseau.
Je prends C le carré du réseau dans lequel I est contenu. Alors CnD_2 est le Z-translaté d'un morceau de la droite D^2 vue en identifiant les cotés du carré unité ; de même CnD'_1 est le translaté d'un morceau de la droite D^1 toujours vue sous cette identification.

Du coup, mes droites D_1 et D_2 vue sous l'identification (j'aurais dû leur donner un nom...) se coupent bien ailleurs qu'en (0,0) puisque M n'est pas sur le réseau.

[invité576543]

Pour le second point ("il me semble"), on peut préciser ainsi : j'appelle D'_1 la droite qui parallèle à D_1 qui passe par A et M l'intersection de D'_1 et D_2.
M est sur le segment OM_2 qui ne contient pas de point du réseau, donc M n'est pas un point du réseau.
Je prends C le carré du réseau dans lequel I est contenu. Alors CnD_2 est le Z-translaté d'un morceau de la droite D^2 vue en identifiant les cotés du carré unité ; de même CnD'_1 est le translaté d'un morceau de la droite D^1 toujours vue sous cette identification.

Du coup, mes droites D_1 et D_2 vue sous l'identification (j'aurais dû leur donner un nom...) se coupent bien ailleurs qu'en (0,0) puisque M n'est pas sur le réseau.

OK, j'y suis (le matin, ça marche toujours mieux). En fait on a tout simplement D'_1=D_1 modulo Z², parce que D'_1 passe par un point du réseau et est parallèle à D_1; c'est une propriété générale.

Sinon, la propriété de surface telle que tu l'as formulée (parallélogramme dont les sommets sont sur le réseau) doit pouvoir se démontrer à partir du fait qu'un tel parallélogramme pave le plan: le rapport entre la densité de points du réseau défini par ledit parallélo et la densité de points du réseau Z² doivent être dans le rapport des surfaces des cellules de pavage. Par un simple argument de pigeonnier, on doit pouvoir conclure qu'il existe un point de Z² strictement à l'intérieur d'au moins une cellule si le rapport des surfaces est >1.

Cordialement,

[GuYem]

Bonjour,

Bien content que tu sois d'accord avec moi. Et surtout merci beaucoup pour ton coup de pouce, belle idée !

Finalement, la présence d'un point du réseau dans le parallélogramme a suffit à trouver une aute intersection que (0,0).
Quelqu'un a une autre idée pour cette démonstration, en utilisant un peu plus la caractérisation "Z-base de Z^2" sur laquelle j'étais parti ?