Diagonalisation d'une matrice
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Diagonalisation d'une matrice



  1. #1
    invite92876ef2

    Diagonalisation d'une matrice


    ------

    Bonjour !!!!!!!!!!!!!!!!!!

    soit l'endomorphisme de IR² de matrice A :

    0 1
    -2 0

    1/ Admet-elle un/des vecteur(s) propre(s) ?

    2/ Est-elle diagonalisable sur C ?

    1/ Je ne sais pas comment faire ! det A = 2, donc A inversible... Mais je ne connais pas de valeur propre... Je suis bloqué !

    Merci de m'aider

    -----

  2. #2
    invitec053041c

    Re : Diagonalisation d'une matrix

    Bonsoir !!! (je vois que les maths, ça te donne la pêche )

    Pour chercher les valeurs propres (puis les vecteurs propres), calcule donc det(A- lambda* Id) et cherche pour quelles valeurs de lambda ce polynôme s'annule-t-il. La première question revient à savoir: est-ce que det(A- lambda*Id) admet des racines réelles en lambda ?

  3. #3
    invite92876ef2

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Oui, oui, j'avais oublié ça, je viens d'apprendre le cours aujourd'hui, ça met un peu de temps à rentrer... Mais merci !

    Alors j'ai eu cela : LAMBDA² = -2 donc pas de valeur propre, donc pas de vecteur propre.
    Or : IR² différent de l'ensemble vide
    Donc : A pas diagonalisable.

    2/ Sur C, on a : LABDA = i racine(2) est la seule valeur propre.
    Par la suite, j'ai trouvé : Ei racine(2) = {(0,0)}
    Or : C différent de {(0,0)}.
    Donc : A pas diagonalisable.

    Est-ce correct ?
    Merci !

  4. #4
    invitec053041c

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Pour le 1 je suis d'accord.
    Pour le 2, tu oublies une seconde racine .

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite92876ef2

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Bien sûr : le - !

    Mais, je trouve quand même (0,0)...

  7. #6
    invite88ef51f0

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Salut,
    Tu peux détailler le calcul de l'espace propre ?

  8. #7
    invite92876ef2

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Bien sûr.

    Alors :

    LAMBDA = +- i racine(2)

    Soit X=(x,y)€C.

    AX=LAMBDA X <=>

    LAMBDA x = y
    LAMBDA y = -2x =>

    (LAMBDA² + 2)x = 0, hum...
    y = LAMBDA x

    Je trouve :

    Ei racine(2) = Vect{(1,i racine(2))}
    E-i racine(2) = Vect{(1,-i racine(2))}

    Soit (x,y)€C ; a,b€IR

    (x,y)=a(1,i racine(2)) + b(1,-i racine(2))
    et je trouve :

    a = y/(i racine(2)) ; b = x - y/(i racine(2)), et donc a,b€C, et pas à IR !...

  9. #8
    invite92876ef2

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Pardon, petite erreur :

    a =x/2 + y/(i 2racine(2)) ; b = x/2 - y/(i 2racine(2)),

  10. #9
    invite92876ef2

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Mais, c'est certainement normal ! a,b€C mais a,b peuvent appartenir à IR, car IR inclu dans C ! lol

  11. #10
    invitebb921944

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Bonjour !
    a = y/(i racine(2)) ; b = x - y/(i racine(2)), et donc a,b€C, et pas à IR !...
    Et si x vaut 2 et y vaut i, b n'appartient pas à R peut-être ???

    Je ne comprends pas très bien ce que tu as fait là et dans quel but.
    Dire qu'une matrice est diagonalisable dans C, ca revient à dire qu'elle peut se mettre par changement de base sous la forme d'une matrice diagonale à coefficients dans C.

    Prends ici tes deux vecteurs propres et forme la matrice P1 avec.
    Calcule l'inverse de P1 : P2

    Calcule P2AP1 et tu trouveras une matrice diagonale !

    (A désigne bien sur ta matrice de départ !)

  12. #11
    invite88ef51f0

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    À relire l'énoncé, je me rends compte que tu peux simplement répondre que vu que ta matrice de dimension 2 admet 2 valeurs propres différentes, alors elle est diagonalisable. Tu n'es pas obligé de calculer les espaces propres.

  13. #12
    invite92876ef2

    Re : Diagonalisation d'une matrice

    Je sais Coincoin, mais l'énoncé dit qu'il faut le faire avec cette méthode.

    Je voudrais montrer, Ganash, que C=E1+E-2

    Soit : (x,y) = a(1,i racine(2)) + b(1,-i racine(2))

    Je trouve que a,b€C, et le cours dit que a,b€IK, IK= IR ou C, et comme on travaille sur C, alors a,b€C, comme je l'ai montré dans mes calculs.

Discussions similaires

  1. Diagonalisation d'une matrice cyclique
    Par invited6afcb96 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 21/02/2009, 16h42
  2. diagonalisation d'une matrice
    Par invite40f82214 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 15
    Dernier message: 27/12/2007, 14h27
  3. Diagonalisation d'une matrice tridiagonale
    Par invite5731219b dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 16
    Dernier message: 24/08/2007, 19h45
  4. diagonalisation d'une matrice
    Par invite9ab97b7e dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 01/04/2007, 13h07
  5. diagonalisation d'une matrice
    Par invite81b3833e dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 17
    Dernier message: 22/07/2006, 17h06