Bonjour !!!!!!!!!!!!!!!!!!
soit l'endomorphisme de IR² de matrice A :
0 1
-2 0
1/ Admet-elle un/des vecteur(s) propre(s) ?
2/ Est-elle diagonalisable sur C ?
1/ Je ne sais pas comment faire ! det A = 2, donc A inversible... Mais je ne connais pas de valeur propre... Je suis bloqué !
Merci de m'aider
Bonsoir !!! (je vois que les maths, ça te donne la pêche)
Pour chercher les valeurs propres (puis les vecteurs propres), calcule donc det(A- lambda* Id) et cherche pour quelles valeurs de lambda ce polynôme s'annule-t-il. La première question revient à savoir: est-ce que det(A- lambda*Id) admet des racines réelles en lambda ?
Oui, oui, j'avais oublié ça, je viens d'apprendre le cours aujourd'hui, ça met un peu de temps à rentrer... Mais merci !
Alors j'ai eu cela : LAMBDA² = -2 donc pas de valeur propre, donc pas de vecteur propre.
Or : IR² différent de l'ensemble vide
Donc : A pas diagonalisable.
2/ Sur C, on a : LABDA = i racine(2) est la seule valeur propre.
Par la suite, j'ai trouvé : Ei racine(2) = {(0,0)}
Or : C différent de {(0,0)}.
Donc : A pas diagonalisable.
Est-ce correct ?
Merci !
Pour le 1 je suis d'accord.
Pour le 2, tu oublies une seconde racine.
Bien sûr : le - !
Mais, je trouve quand même (0,0)...
Salut,
Tu peux détailler le calcul de l'espace propre ?
Bien sûr.
Alors :
LAMBDA = +- i racine(2)
Soit X=(x,y)€C.
AX=LAMBDA X <=>
LAMBDA x = y
LAMBDA y = -2x =>
(LAMBDA² + 2)x = 0, hum...
y = LAMBDA x
Je trouve :
Ei racine(2) = Vect{(1,i racine(2))}
E-i racine(2) = Vect{(1,-i racine(2))}
Soit (x,y)€C ; a,b€IR
(x,y)=a(1,i racine(2)) + b(1,-i racine(2))
et je trouve :
a = y/(i racine(2)) ; b = x - y/(i racine(2)), et donc a,b€C, et pas à IR !...
Pardon, petite erreur :
a =x/2 + y/(i 2racine(2)) ; b = x/2 - y/(i 2racine(2)),
Mais, c'est certainement normal ! a,b€C mais a,b peuvent appartenir à IR, car IR inclu dans C ! lol
Bonjour !
Et si x vaut 2 et y vaut i, b n'appartient pas à R peut-être ???a = y/(i racine(2)) ; b = x - y/(i racine(2)), et donc a,b€C, et pas à IR !...
Je ne comprends pas très bien ce que tu as fait là et dans quel but.
Dire qu'une matrice est diagonalisable dans C, ca revient à dire qu'elle peut se mettre par changement de base sous la forme d'une matrice diagonale à coefficients dans C.
Prends ici tes deux vecteurs propres et forme la matrice P1 avec.
Calcule l'inverse de P1 : P2
Calcule P2AP1 et tu trouveras une matrice diagonale !
(A désigne bien sur ta matrice de départ !)
À relire l'énoncé, je me rends compte que tu peux simplement répondre que vu que ta matrice de dimension 2 admet 2 valeurs propres différentes, alors elle est diagonalisable. Tu n'es pas obligé de calculer les espaces propres.
Je sais Coincoin, mais l'énoncé dit qu'il faut le faire avec cette méthode.
Je voudrais montrer, Ganash, que C=E1+E-2
Soit : (x,y) = a(1,i racine(2)) + b(1,-i racine(2))
Je trouve que a,b€C, et le cours dit que a,b€IK, IK= IR ou C, et comme on travaille sur C, alors a,b€C, comme je l'ai montré dans mes calculs.
