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diagonalisation d'une matrice



  1. #1
    gilloull

    diagonalisation d'une matrice


    ------

    Bonsoir à tous !

    Je viens de faire un exo tout bête sur la diagonalisation d'une matrice 2*2 et je trouve mon résultat bizard, pourriez vous me contrôler svp :

    Ma matrice est :



    Mon polynome caractéristique est :

    x²-2x+1

    Mes valeurs propres sont 1 double

    Donc ma matrice diagonale est la matrice identité.

    J'ai donc : B = P*I*P-1

    Ce qui donne : B = I

    Et B n'est pas égale à I...

    Cela voudrai-t-il dire que ma matrice n'est pas diagonalisable ?

    Merci de votre aide ^_^

    -----

  2. #2
    cedbont

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Bonjour,
    ta matrice B n'est pas diagonalisable car la dimension du sous-espace propre de la valeur propre 1 est 1 (sep=Vect((3/2,1))).

  3. #3
    gilloull

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Un autre souci sur le même chapitre :



    Avec la règle de Sarrus, j'obtient :

    P(x) = (3-x)*(3-x)*(4-x)

    Je trouve que l'espace propre E4 est un plan dirigé par u=(1;0;1) et v=(0;1;-1)

    L'espace propre E3 est une droite dirigée par w=(1;1;0)

    J'ai donc D la matrice diagonale telle que :



    Pour la matrice de passage, on m'a dit qu'il fallait placer les vecteurs propres dans la meme colones que les valeurs propres. Mais la, j'ai deux vecteurs pour la valeur propre 4, et un seul vecteur pour la valeur propre 3.
    Puis-je quand même écrire :



    Le probleme, c'est que je n'arrive pas à inverser cette matrice, et ma calculatrice non plus

    Cela veut-il dire que dans ce cas la aussi, la matrice n'est pas diagonalisable ??

  4. #4
    Blueberry

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Bonsoir,

    il y a déjà une erreur : v1(0;1;-1) n'est pas un vecteur propre associé à la valeur propre 4

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gilloull

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Ker (C-AI) ==>

    Ce qui me donne sur la troisième ligne :

    z = x - y

    ker (c-4i) = (x ; y ; x-y)

    u = (1 ; 0 ; 1) et v = (0 ; 1 ; -1)


    Ma méthode est-elle fausse ?

  7. #6
    Blueberry

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Mais essaye simplement le calcul C(v1) n'est pas égal à 4v1

    donc ça ne colle pas.

  8. #7
    gilloull

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Bon ça doit etre l'heure parce que j'ai l'impression d'avoir fait un peut n'importe quoi la :

    J'ai donc :

    y = 0
    -y = 0
    z = x

    donc vecteur propre :

    u = (1 ; 0 ; 1)


    Donc il faudrai que je trouve un plan pour ma valeur propre 3 pour que ce soit diagonalisable ?

    Et si je trouvai que le noyau est nul, cela voudrai-t-il dire que l'une des colones de la matrice de passage est nulle ? c'est possible ?

    Merci de vos réponses

  9. #8
    Blueberry

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Resalut

    oui il te faut un plan vectoriel pour le sous espace propre associé à 3

    tu as trouvé

    il y a aussi (0,0,1)

  10. #9
    cedbont

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Tu aurais pu t'en rendre compte plus vite qu'il y avait une erreur :
    la dimension du sous-espace vectoriel associé à une valeur propre est inférieure ou égale à l'ordre de multiplicité de cette valeur propre.

  11. #10
    Blueberry

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Citation Envoyé par cedbont Voir le message
    Tu aurais pu t'en rendre compte plus vite qu'il y avait une erreur :
    la dimension du sous-espace vectoriel associé à une valeur propre est inférieure ou égale à l'ordre de multiplicité de cette valeur propre.
    Tout à fait Thierry mais vu les hésitations de notre ami, il doit en être au début du chapitre. Sinon Big respect pour tes connaissances approfondies en algèbre linéaire, c'est impressionant.

  12. #11
    Romain-des-Bois

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Une petite astuce (bon d'accord, c'est un théorème )

    Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et à racines simples

    Du coup, dans tes deux exemples, tu peux conclure très vite que tes matrices ne sont pas diagonalisables

    Romain

  13. #12
    gilloull

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Citation Envoyé par Blueberry Voir le message
    Tout à fait Thierry mais vu les hésitations de notre ami, il doit en être au début du chapitre. Sinon Big respect pour tes connaissances approfondies en algèbre linéaire, c'est impressionant.
    J'apprécie la façon dont tu motive les gens en les rabaissant, ça doit te faire sentir plus fort...

    Merci à tous pour vos réponses

  14. #13
    Blueberry

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Si tu l'as mal pris gilloul j'en suis désolé. Maintenant quel que soit le domaine qu'on aborde il y a forcément un début et si tu connaissais effectivement cette propriété je te présente mes plus plates excuses.

  15. #14
    cherwam07

    Re : diagonalisation d'une matrice

    Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et à racines simples
    Non c'est faux.

    Un polynome caractéristique à racine multiple peut très bien conduire à une matrice diagonalisable. Il suffit que la dimension du sous espace propre associé à la valeur propre en question soit de meme dimension que l'ordre de multiplicité.

    Un exemple très simple pour s'en convaincre :



    Son polynome caractéristique est bien scindé et à racine non multiples, pourtant elle est evidemment diagonalisable....puisqu'elle est diagonale.

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