Bonsoir à tous !
Je viens de faire un exo tout bête sur la diagonalisation d'une matrice 2*2 et je trouve mon résultat bizard, pourriez vous me contrôler svp :
Ma matrice est :
Mon polynome caractéristique est :
x²-2x+1
Mes valeurs propres sont 1 double
Donc ma matrice diagonale est la matrice identité.
J'ai donc : B = P*I*P-1
Ce qui donne : B = I
Et B n'est pas égale à I...
Cela voudrai-t-il dire que ma matrice n'est pas diagonalisable ?
Merci de votre aide ^_^
Bonjour,
ta matrice B n'est pas diagonalisable car la dimension du sous-espace propre de la valeur propre 1 est 1 (sep=Vect((3/2,1))).
Un autre souci sur le même chapitre :
Avec la règle de Sarrus, j'obtient :
P(x) = (3-x)*(3-x)*(4-x)
Je trouve que l'espace propre E4 est un plan dirigé par u=(1;0;1) et v=(0;1;-1)
L'espace propre E3 est une droite dirigée par w=(1;1;0)
J'ai donc D la matrice diagonale telle que :
Pour la matrice de passage, on m'a dit qu'il fallait placer les vecteurs propres dans la meme colones que les valeurs propres. Mais la, j'ai deux vecteurs pour la valeur propre 4, et un seul vecteur pour la valeur propre 3.
Puis-je quand même écrire :
Le probleme, c'est que je n'arrive pas à inverser cette matrice, et ma calculatrice non plus
Cela veut-il dire que dans ce cas la aussi, la matrice n'est pas diagonalisable ??
Bonsoir,
il y a déjà une erreur : v1(0;1;-1) n'est pas un vecteur propre associé à la valeur propre 4
Ker (C-AI) ==>
Ce qui me donne sur la troisième ligne :
z = x - y
ker (c-4i) = (x ; y ; x-y)
u = (1 ; 0 ; 1) et v = (0 ; 1 ; -1)
Ma méthode est-elle fausse ?
Mais essaye simplement le calcul C(v1) n'est pas égal à 4v1
donc ça ne colle pas.
Bon ça doit etre l'heure parce que j'ai l'impression d'avoir fait un peut n'importe quoi la :
J'ai donc :
y = 0
-y = 0
z = x
donc vecteur propre :
u = (1 ; 0 ; 1)
Donc il faudrai que je trouve un plan pour ma valeur propre 3 pour que ce soit diagonalisable ?
Et si je trouvai que le noyau est nul, cela voudrai-t-il dire que l'une des colones de la matrice de passage est nulle ? c'est possible ?
Merci de vos réponses
Resalut
oui il te faut un plan vectoriel pour le sous espace propre associé à 3
tu as trouvé
il y a aussi (0,0,1)
Tu aurais pu t'en rendre compte plus vite qu'il y avait une erreur :
la dimension du sous-espace vectoriel associé à une valeur propre est inférieure ou égale à l'ordre de multiplicité de cette valeur propre.
Tout à fait Thierry mais vu les hésitations de notre ami, il doit en être au début du chapitre. Sinon Big respect pour tes connaissances approfondies en algèbre linéaire, c'est impressionant.Envoyé par cedbont
Une petite astuce (bon d'accord, c'est un théorème)
Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et à racines simples
Du coup, dans tes deux exemples, tu peux conclure très vite que tes matrices ne sont pas diagonalisables
Romain
J'apprécie la façon dont tu motive les gens en les rabaissant, ça doit te faire sentir plus fort...
Merci à tous pour vos réponses
Si tu l'as mal pris gilloul j'en suis désolé. Maintenant quel que soit le domaine qu'on aborde il y a forcément un début et si tu connaissais effectivement cette propriété je te présente mes plus plates excuses.
Non c'est faux.Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et à racines simples
Un polynome caractéristique à racine multiple peut très bien conduire à une matrice diagonalisable. Il suffit que la dimension du sous espace propre associé à la valeur propre en question soit de meme dimension que l'ordre de multiplicité.
Un exemple très simple pour s'en convaincre :
Son polynome caractéristique est bien scindé et à racine non multiples, pourtant elle est evidemment diagonalisable....puisqu'elle est diagonale.
