Diagonalisation d'une matrice cyclique

[invited6afcb96]

Bonjour,

Voici un problème qui me chagrine:

Soit A une matrice complexe nxn telle que A^p = In. p est d'ailleurs le plus petit entier vérifiant ceci.
On peut montrer assez facilement que les valeurs propres l1, l2, ...,ln de A sont des racines p-ièmes de l'unité.

Par contre, on me demande de prouver que Trace(A) appartient à l'ensemble {-n, -(n-1),....,-1,0,1,2,...,n}
de même que det(A) = 1 ou -1

Que la trace de A soit entre -n et n, certes car chaque li est un complexe de module 1, mais pourquoi est-elle réelle ?

On peut utiliser la trace de A dans le développement du polynome caractéristique de A mais ici, nous n'avons qu'un polynome annulateur: X^p-1 qui est en l'occurrence le polynome minimal. Mais, à ma connaissance, dans un polynome minimale on ne peut pas loire d'informations sur la trace et le déterminant de A, me trompe-je ?

Merci par avance.
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[invited5b2473a]

C'est faux. Tu prends A=Id.

[invitea0cc53c7]

je viens d. entrer. patiente

[invite57a1e779]

Bonjour,

Cet énoncé est des plus bizarres.

Tel que, il est faux, comme le montre la matrice scalaire d'indian58.

D'autre part, que signifie :

Soit A une matrice complexe nxn telle que A^p = In. p est d'ailleurs le plus petit entier vérifiant ceci.

Si , cela ne prouve pas que soit le polynôme minimal de la matrice. En effet, soit , alors , et si est seulement si est multiple de 4, donc ; mais le polynôme minimal de est et pas .

Par contre, tu disposes du polynôme annulateur , scindé et à racines simples dans , donc est diagonalisable en tant que matrice à éléments complexes.
Question, est-tu certain que n'est pas pas une matrice à éléments réels, ce qui permet d'obtenir la caractérisation voulue de la trace et du déterminant, qui sont alors réels, à partir d'une estimation de leur module à l'aide des valeurs propres.

[A voir en vidéo sur Futura]