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Diagonalisation d'une matrice tridiagonale



  1. #1
    SpintroniK

    Diagonalisation d'une matrice tridiagonale


    ------

    Bonjour,

    j'ai posé une question dans le forum physique mais à force de progresser il s'avère que cela fini par devenir une question de maths.
    C'est pour cela que je poste ici un résumé de ce que j'ai fait (la discussion originale étant ici : http://forums.futura-sciences.com/thread162131.html)

    Citation Envoyé par SpintroniK Voir le message
    J'ai trouvé ceci :
    http://www.math.univ-paris13.fr/~audusse/td3_macs1.pdf
    l'exercice 6 est exactement mon problème avec la solution que j'essaye de démontrer... j'ai déjà fait les questions 1, 2, 3, 4, 7 je ne comprend pas la question 6, qu'est-ce que le conditionnement ?
    On a en fait a=2/h² et b = 1/h²...
    Pour la question 5 je ne suis pas sûr mais je pense qu'on peut dire que c'est avec des sur la diagonale ?
    Pour la relation de récurrence j'ai trouvé et donc que j'ai trouvé que .
    Quelqu'un peut m'aider pour la suite ?
    Je ne vois pas vraiment comme introduire le changement de variable proposé car je n'ai pas de qui intervient dans mes calculs.

    Merci d'avance pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    FonKy-

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Je pense que d'abord il te faut determiner en fonction de n et non pas une formule de recurence. Mais cela dit tu le déduit de ta recurrence grace a des formules, ensuite yaura ptet le changement de variable a faire.

    Je vais chercher de mon coté.

    FonKy-

    Edit: ou je sais pas trop faut chercher lequel, je vais y reflechir

  4. #3
    rvz

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Salut,

    à mon avis, a=2 et b=1 à partir de cet endroit là.

    Cela dit, pour trouver les valeurs propres de cette matrice, pas besoin de faire très compliqué. Ton problème consiste en une discrétisation d'une edp, et donc il est naturel de se tourner vers la transformée de Fourier (pour le système continu, les vecteurs propres sont des modes de Fourier x-> exp(i xi x) avec condition de compatibilité sur xi.) Si tu fais ça, tu vas bien vite trouver les vecteurs propres et calculer les valeurs propres. Du coup, toutes les autres questions deviennent triviales.

    __
    rvz

  5. #4
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    à mon avis, a=2 et b=1 à partir de cet endroit là.

    Cela dit, pour trouver les valeurs propres de cette matrice, pas besoin de faire très compliqué. Ton problème consiste en une discrétisation d'une edp, et donc il est naturel de se tourner vers la transformée de Fourier (pour le système continu, les vecteurs propres sont des modes de Fourier x-> exp(i xi x) avec condition de compatibilité sur xi.) Si tu fais ça, tu vas bien vite trouver les vecteurs propres et calculer les valeurs propres. Du coup, toutes les autres questions deviennent triviales.

    __
    rvz
    Pour la transformée de Fourrier je suis d'accord (même si je n'ai pas essayé) mais j'aimerais quand même essayeer de terminer mon calcul...

    Je pense aussi qu'il faut prendre a=2 et b=-1 ce qui fait :

    J'ai essayé de trouver une suite arithmétique solution mais ça ne fonctionne pas : je résoud r² - 2r -1 = 0
    dont sont solutions et .
    Cependant, j'ai un problème avec les constantes : j'ai pris :
    et j'ai trouvé C1=-C2=2/sqrt(5) mais les valeurs que je calcule ne correspondent pas aux valeurs du déterminant. Je me suis sûrement trompé quelque part mais je ne vois pas où.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    C'est bizarre, je me demande si je n'ai pas fait une erreur sur la relation de récurrence de car à la calculatrice jusqu'à la dimension 5 j'ai trouvé .
    Une idée pour la suite ?

  8. #6
    mamono666

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    mais tu es sur de ton signe devant le ?

    EDIT: et le racine de 5 n'est il pas racine de 8?
    Dernière modification par mamono666 ; 23/08/2007 à 21h55.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

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  10. #7
    Ledescat

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message

    EDIT: et le racine de 5 n'est il pas racine de 8?
    Oui, les racines de r²-2r-1 sont et .

    François.
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    En fait non, je me suis effectivement trompé sur le signe, on a donc en fait seulement la racine de r²-2r+1 est 1 ce qui voudrait dire que ne dépend pas de n ? Mais ça ne concorde pas du tout avec les résultats de ma Ti-89 qui donne (pour n = 1, 2, 3, 4, 5).

  12. #9
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Cela dit, si on remplace par n+1 l'équation () est effectivement vérifiée (n+1 = 2n - (n-1))... Alors que faire pour ?

  13. #10
    mamono666

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    A priori on a pour

    Apres si on prend b=-1, le fait que l'énoncé ecrive l'intervalle sous la forme ]a,b[ peut laisser penser que a<b donc je prend a=-2. Du coup le changement de variable donnerait:



    ce qui ferait comme polynome:

    donc le discriminant:

    donc

    donc

    Apres je bloque...
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  14. #11
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Très bonne idée...
    Je pense qu'il faut se servir du fait que (si c'est bon), ça donne A=-B et donc .
    Seulement le résultat n'est pas vraiment celui qui est proposé dans le document.

  15. #12
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Dans le doute j'ai aussi essayé ça :
    ce qui donne : B = 2 - A et donc mais ça semble faux.

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  17. #13
    mamono666

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Je viens de penser, à fortiori le déterminant est réel car a et b réelles.

    Donc

    donc

    Je prend A de la forme
    donc B sera de la forme

    d'où

    La condition en n=0 donne
    donc (pour a non nul) alpha s'écrit .

    Si je choisi , on aura et

    donc

    donc

    après je vois pas, mais y doit y avoir un truc qui va pas...
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  18. #14
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    En supposant que
    on trouverait : (avec les données du document on aurait trouvé ).

    Mais ensuite ?

    j'ai pensé qu'on pouvait faire :
    mais dans le document les valeurs propres sont données par ce qui me semble plus logique puisque h = T/n
    (T est le temps de propagation de l'onde du premier au dernier pendule, cf. le topic dans le forum physique)
    et donc en revenant à un modèle continu : , en d'autres termes chaque pendule pesant aura un mouvement qui sera combinaison linaire de fréquences multiples à la fréquence de l'onde qui est transmise ce qui, je pense, rejoint l'idée de la transformation de Fourrier donnée par rvz post #3.

    Est-ce que tout ceci est cohérent ?

  19. #15
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    J'ai fait quelques erreurs dans mon post précédent, on a en fait :


    et dans le document les valeurs propres sont données par .

    Ceci étant dit, j'ai pensé à un autre changement de variable : .

    On arrive toujours à .
    Ce qui donne bien :

    Donc finalement, la question qui se pose c'est pourquoi a-t-on
    (et non ) dans le document ???

  20. #16
    mamono666

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Il y a peut etre une erreur dans le changement de variable.... :-/

    EDIT: je viens de voir ton dernier post, oui ca va mieux avec ce changement de variable, mais tjrs quelque chose qui cloche
    Dernière modification par mamono666 ; 24/08/2007 à 19h38.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  21. #17
    SpintroniK

    Re : Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

    Ca fait au moins 3 fois que je parcours le post en entier et je ne vois pas vraiment d'erreur... Je vais réessayer ça demain.
    Merci pour votre aide.

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