Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

**SpintroniK** · 23/08/2007, 16h04

Bonjour,

j'ai posé une question dans le forum physique mais à force de progresser il s'avère que cela fini par devenir une question de maths.
C'est pour cela que je poste ici un résumé de ce que j'ai fait (la discussion originale étant ici : http://forums.futura-sciences.com/thread162131.html)

Envoyé par SpintroniK

J'ai trouvé ceci :
http://www.math.univ-paris13.fr/~audusse/td3_macs1.pdf
l'exercice 6 est exactement mon problème avec la solution que j'essaye de démontrer... j'ai déjà fait les questions 1, 2, 3, 4, 7 je ne comprend pas la question 6, qu'est-ce que le conditionnement ?
On a en fait a=2/h² et b = 1/h²...
Pour la question 5 je ne suis pas sûr mais je pense qu'on peut dire que $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ avec des $\text{[math]}$ sur la diagonale ?
Pour la relation de récurrence j'ai trouvé $\text{[math]}$ et donc que j'ai trouvé que $\text{[math]}$ .
Quelqu'un peut m'aider pour la suite ?

Je ne vois pas vraiment comme introduire le changement de variable proposé car je n'ai pas de $\text{[math]}$ qui intervient dans mes calculs.

Merci d'avance pour votre aide.

**FonKy-** · 23/08/2007, 16h35

Je pense que d'abord il te faut determiner $\text{[math]}$ en fonction de n et non pas une formule de recurence. Mais cela dit tu le déduit de ta recurrence grace a des formules, ensuite yaura ptet le changement de variable a faire.

Je vais chercher de mon coté.

FonKy-

Edit: $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ je sais pas trop faut chercher lequel, je vais y reflechir

invite6b1e2c2e · 23/08/2007, 16h41

Salut,

à mon avis, a=2 et b=1 à partir de cet endroit là.

Cela dit, pour trouver les valeurs propres de cette matrice, pas besoin de faire très compliqué. Ton problème consiste en une discrétisation d'une edp, et donc il est naturel de se tourner vers la transformée de Fourier (pour le système continu, les vecteurs propres sont des modes de Fourier x-> exp(i xi x) avec condition de compatibilité sur xi.) Si tu fais ça, tu vas bien vite trouver les vecteurs propres et calculer les valeurs propres. Du coup, toutes les autres questions deviennent triviales.

__
rvz

**SpintroniK** · 23/08/2007, 17h14

Envoyé par rvz

Salut,

à mon avis, a=2 et b=1 à partir de cet endroit là.

Cela dit, pour trouver les valeurs propres de cette matrice, pas besoin de faire très compliqué. Ton problème consiste en une discrétisation d'une edp, et donc il est naturel de se tourner vers la transformée de Fourier (pour le système continu, les vecteurs propres sont des modes de Fourier x-> exp(i xi x) avec condition de compatibilité sur xi.) Si tu fais ça, tu vas bien vite trouver les vecteurs propres et calculer les valeurs propres. Du coup, toutes les autres questions deviennent triviales.

__
rvz

Pour la transformée de Fourrier je suis d'accord (même si je n'ai pas essayé) mais j'aimerais quand même essayeer de terminer mon calcul...

Je pense aussi qu'il faut prendre a=2 et b=-1 ce qui fait : $\text{[math]}$

J'ai essayé de trouver une suite arithmétique solution mais ça ne fonctionne pas : je résoud r² - 2r -1 = 0
dont $\text{[math]}$ sont solutions et $\text{[math]}$ .
Cependant, j'ai un problème avec les constantes : j'ai pris :
$\text{[math]}$ et j'ai trouvé C1=-C2=2/sqrt(5) mais les valeurs que je calcule ne correspondent pas aux valeurs du déterminant. Je me suis sûrement trompé quelque part mais je ne vois pas où.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**SpintroniK** · 23/08/2007, 19h49

C'est bizarre, je me demande si je n'ai pas fait une erreur sur la relation de récurrence de $\text{[math]}$ car à la calculatrice jusqu'à la dimension 5 j'ai trouvé $\text{[math]}$ .
Une idée pour la suite ?

**mamono666** · 23/08/2007, 21h51

mais tu es sur de ton signe devant le $\text{[math]}$ ?

EDIT: et le racine de 5 n'est il pas racine de 8?

invitec053041c · 23/08/2007, 22h05

Envoyé par mamono666

EDIT: et le racine de 5 n'est il pas racine de 8?

Oui, les racines de r²-2r-1 sont $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

François.

**SpintroniK** · 24/08/2007, 10h17

En fait non, je me suis effectivement trompé sur le signe, on a donc en fait $\text{[math]}$ seulement la racine de r²-2r+1 est 1 ce qui voudrait dire que $\text{[math]}$ ne dépend pas de n ? Mais ça ne concorde pas du tout avec les résultats de ma Ti-89 qui donne $\text{[math]}$ (pour n = 1, 2, 3, 4, 5).

**SpintroniK** · 24/08/2007, 10h27

Cela dit, si on remplace $\text{[math]}$ par n+1 l'équation ( $\text{[math]}$ ) est effectivement vérifiée (n+1 = 2n - (n-1))... Alors que faire pour $\text{[math]}$ ?

**mamono666** · 24/08/2007, 13h05

A priori on a pour $\text{[math]}$

Apres si on prend b=-1, le fait que l'énoncé ecrive l'intervalle sous la forme ]a,b[ peut laisser penser que a<b donc je prend a=-2. Du coup le changement de variable donnerait:

$\text{[math]}$

ce qui ferait comme polynome: $\text{[math]}$

donc le discriminant: $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

Apres je bloque...

**SpintroniK** · 24/08/2007, 13h38

Très bonne idée...
Je pense qu'il faut se servir du fait que $\text{[math]}$ (si c'est bon), ça donne A=-B et donc $\text{[math]}$ .
Seulement le résultat n'est pas vraiment celui qui est proposé dans le document.

**SpintroniK** · 24/08/2007, 13h46

Dans le doute j'ai aussi essayé ça : $\text{[math]}$
ce qui donne : B = 2 - A et donc $\text{[math]}$ mais ça semble faux.

**mamono666** · 24/08/2007, 15h35

Je viens de penser, à fortiori le déterminant est réel car a et b réelles.

Donc $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

Je prend A de la forme $\text{[math]}$
donc B sera de la forme $\text{[math]}$

d'où $\text{[math]}$

La condition en n=0 donne $\text{[math]}$
donc (pour a non nul) alpha s'écrit $\text{[math]}$ .

Si je choisi $\text{[math]}$ , on aura $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

après je vois pas, mais y doit y avoir un truc qui va pas...

**SpintroniK** · 24/08/2007, 16h39

En supposant que $\text{[math]}$
on trouverait : $\text{[math]}$ (avec les données du document on aurait trouvé $\text{[math]}$ ).

Mais ensuite ?

j'ai pensé qu'on pouvait faire : $\text{[math]}$
mais dans le document les valeurs propres sont données par $\text{[math]}$ ce qui me semble plus logique puisque h = T/n
(T est le temps de propagation de l'onde du premier au dernier pendule, cf. le topic dans le forum physique)
et donc en revenant à un modèle continu : $\text{[math]}$ , en d'autres termes chaque pendule pesant aura un mouvement qui sera combinaison linaire de fréquences multiples à la fréquence de l'onde qui est transmise ce qui, je pense, rejoint l'idée de la transformation de Fourrier donnée par rvz post #3.

Est-ce que tout ceci est cohérent ?

**SpintroniK** · 24/08/2007, 19h26

J'ai fait quelques erreurs dans mon post précédent, on a en fait :

$\text{[math]}$
et dans le document les valeurs propres sont données par $\text{[math]}$ .

Ceci étant dit, j'ai pensé à un autre changement de variable : $\text{[math]}$ .

On arrive toujours à $\text{[math]}$ .
Ce qui donne bien : $\text{[math]}$

Donc finalement, la question qui se pose c'est pourquoi a-t-on
$\text{[math]}$ (et non $\text{[math]}$ ) dans le document ???

**mamono666** · 24/08/2007, 19h34

Il y a peut etre une erreur dans le changement de variable.... :-/

EDIT: je viens de voir ton dernier post, oui ca va mieux avec ce changement de variable, mais tjrs quelque chose qui cloche

**SpintroniK** · 24/08/2007, 19h45

Ca fait au moins 3 fois que je parcours le post en entier et je ne vois pas vraiment d'erreur... Je vais réessayer ça demain.
Merci pour votre aide.

Diagonalisation d'une matrice tridiagonale

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