Une probleme de limite simple ou complique

[invited2b63fa9]

Je suis tombe la dessus en m'amusant avec les mathematiques derriere des filtres passe-bas RC sur dac a haute frequence. J'aurai p'tet pu la resoudre il y a 15 ans mais la, ouch. ou est la frequence de coupure (vers 10KHz par exemple), donc tranquillement entre 0 et 1, bornes non comprises.

Du coup, question bete, c'est une limite connue ou pas ? Faisable ou pas ? Je devrais m'y prendre comment ?

OG.
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[invite3478a1d3]

Je pense qu'on peut montrer que .
Mais dans ton cas, si , il y a une preuve simple :

Or, . D'où le résultat.

[invited5b2473a]

la limite vaut 0 (e^(nln(1-a^(1/n)) et ln(1-a^(1/n)) tend vers -infini)

[invitec053041c]

la limite vaut 0 (e^(nln(1-a^(1/n)) et ln(1-a^(1/n)) tend vers -infini)

Je ne comprend pas ton message.
tend vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

non: a^(1/n) tend vers 1 quand n tend vers +infini.

[invite3478a1d3]

En fait, ça marche bien :

• si alors et la limite est plus que triviale
• si , alors . Or, et . De là, et finalement , ce qui est le résultat cherché.

Voilà .

[invitebb921944]

Et pourquoi ln(1+a^(1/n)) tend vers 0 ?

[invitec053041c]

non: a^(1/n) tend vers 1 quand n tend vers +infini.

Oula, oui, quelle mouche m'a piqué?

[invited5b2473a]

Et pourquoi ln(1+a^(1/n)) tend vers 0 ?

Dsl err'eur de frappe, c ln(1-a^(1/n))

[inviteaf1870ed]

Voici ce que je propose :

Posons u=log(a)/n; u est négatif car a<1 et u tend vers 0 quand n est grand.
Alors (1-a^1/n)=1-e^uqui est équivalent à -u par un DL à l'ordre 1.
Donc (1-a^1/n) tend vers 0 et
(1-a^1/n)ⁿ=e^nlog(1-a1/n)est équivalent à e^nlog(-u)
nlog(-u) tend vers -infini, donc la limite cherchée est zéro.

Pour Kacsou : il me semble que tu conclus ton raisonnement un peu vite : 0^+inf est une forme indéterminée : x^1/x tend vers 1

[invited2b63fa9]

Ah, interessant. Merci a tous. J'ai du merder mes calculs quelque part, parce que physiquement ca doit repondre autre chose que 0. Papier, crayon, hophophop

OG.

[invite7d436771]

Bonsoir,

Il me semble que tu vas un peu vite Kacsou ... Par exemple, quelle est la limite en l'infini de (1+1/n)^n ? D'après ta méthode je dirai 1/n tend vers 0 donc 1+1/n tend vers 1 donc la limite est un ... Or, et c'est une faute archi classique, cette limite est en fait de e (exp(1)). Comme quoi il peut être faux de raisonner sur une limite quand le n apparait aussi dans la puissance ...

Cordialement,

Nox

[invitec053041c]

Bonsoir,

Il me semble que tu vas un peu vite Kacsou ... Par exemple, quelle est la limite en l'infini de (1+1/n)^n ? D'après ta méthode je dirai 1/n tend vers 0 donc 1+1/n tend vers 1 donc la limite est un ... Or, et c'est une faute archi classique, cette limite est en fait de e (exp(1)). Comme quoi il peut être faux de raisonner sur une limite quand le n apparait aussi dans la puissance ...

Cordialement,

Nox

Oui, cette limite me fera toujours penser à mon prof de sup : "le n d'en haut on le cache, il bouge pas il est tranquille, et pendant ce temps là celui du milieu fait tendre la parenthèse vers 1, et pas vu pas pas pris, 1^n=1"

[invite3478a1d3]

Il me semble que tu vas un peu vite Kacsou ... Par exemple, quelle est la limite en l'infini de (1+1/n)^n ? D'après ta méthode je dirai 1/n tend vers 0 donc 1+1/n tend vers 1 donc la limite est un ... Or, et c'est une faute archi classique, cette limite est en fait de e (exp(1)). Comme quoi il peut être faux de raisonner sur une limite quand le n apparait aussi dans la puissance ...
Nox

Oui, oui, pardon! Honte sur moi.... J'ai écrit ça vite au tableau, et j'ai pas vu l'erreur.... Evidemment, la preuve que je donne est fausse.