R, R-ev ?

[invite7d40f910]

Bonjour, ma question est simple, est ce que munit de la loi interne usuelle "+" et de la multiplication externe "x" est un -espace vectoriel ? J'ai vérifié les axiomes de la définition d'espace vectoriel ((R,+) est un groupe abélien et la loi externe vérifie les propriétés suivantes : distributivité des vecteurs par rapport aux scalaires, distributivité des scalaires par rapport aux vecteurs, associativité mixte et 1.vecteur=vecteur).
et tout cela semble confirmer le fait que est bien un -espace vectoriel. Si cela est juste, cela voudrait dire que les scalaires et les vecteurs seraient confondus, et que la loi interne et la loi externe seraient aussi confondues ?

Merci de m'éclairer.
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[Follium]

Je n'ai pas vraiment de connaissance "mathématiques" à ce sujet mais on ne peut confondre un scalaire à un vecteur (à nombre réel). En effet, on ne peut inverser un vecteur par exemple (je crois que ca fait partie de la définition de groupe abélien mais je ne suis pas sûr) alors qu'un scalaire si.

[Etile]

Question subsidiaire. Si l'on suppose que R est un R-ev, alors cet espace vectoriel R défini sur R n'est ni une R-algèbre ni un espace muni d'un produit scalaire ?

[Mahow]

Bonjour OuTag,

Comme le dit Follium : ne pas confondre Vecteur et Scalaire.


Un K espace vectoriel c'est :

Un ensemble de vecteurs munie d'une loi. pour que ce soit un groupe abélien.

Un ensemble de Scalaire, muni de deux lois, chacune faisant un groupe abélien (corps commutatif)

et d'une loi externe de domaine des scalaires:

Si E c'est les vecteur et K les scalaires , la loi externe est :

une application de K x E dans E

vérifiant qques propriétés de Distribution.

Dans ce cas nour parlons bien de K-espace vectoriel sur E.


Pour R :

Il faut savoir qu'il y a un R espace vectoriel sur R.
Mais qu'on ne peut inverser les vecteurs (comme le dit Follium)...
Puisque ya pas de multiplication interne chez les les vecteurs...

Voilà

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Bonjour OuTag,

Ton raisonnement est correct, et effectivement est un -espace vectoriel de dimension 1 (dont une base est {1} par exemple )

Effectivement ici la loi * est à la foi la loi externe de l'espace-vectoriel est la loi internet de l'anneau ce qui dote en algèbre linéaire d'une structure d'algèbre.


EDIT : pour Mahow et Follium, on peut tout à fait multiplier des vecteurs, encore faut-il définir ce que cela signifie, et cela se fait dans le cadre de la structure d'algèbre de vecteur.

[Etile]

Et est-ce qu'on peut tout de même définir un produit scalaire sur R après ça de l'anneau (R,+,x) vers le corps (R,+,x) ?

[Mahow]

.. le produit scalaire n'a en fait rien à voir ...

Elle ne donne pas de structure d'algèbre à R-ev sur R

puisque :

Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire (d'ou le nom XD)

Voilà ...

Donc faut une loi de plus ....

Facile à construire pour R-ev sur R, mais pas le produit scalaire, plutot une multiplication qui ressemble à celle des scalaires (les vecteurs sont "confondu" aux sclaires)

et pour completer : dans ce cas, un vecteur peut devenir inversible (ssi c'est une algèbre sur CORPS !)

[invite7d40f910]

Merci Gwyddon.

[Mahow]

euh non pas algèbre sur coprs


mais si (E , * ) où * est la multiplication interne des vecteurs est un groupe abélien..

(si E , + , * est un corps)

PS : Algèbre sur corps c'est pour les scalaires ..

Je ne sais pas si ça porte un nom une algèbre dont l'espace des vcteurs est un corps...

merci pour celui qui le sait ...

[Mahow]

Gwydonn ==> J'en parlais là justement

[invitec053041c]

Et est-ce qu'on peut tout de même définir un produit scalaire sur R après ça de l'anneau (R,+,x) vers le corps (R,+,x) ?

Je ne comprends pas la fin de ta phrase .
Mais la multiplication canonique des réels peut jouer le rôle de produit scalaire oui.
Sachant que, comme Gwyddon l'a dit, {1} peut être une base de cet ev, tout réel x a pour coordonnée(s? ) (x) dans cette base.
donc (x)|(y)=x.y est un produit scalaire de IR en tant que IR-ev.
(il est évident que c'est une forme bilinéaire définie positive).


Cdlt.


EDIT: ah ben je crois que la subtilité résidait dans cette fin de phrase qui m'échappait .

[Mahow]

(1) est une base, pas {1} ? non ?


(en effet, mais ne pas généraliser à R^n ... après ça ne va plus très bien )

[Etile]

En gros, la loi * peut à la fois jouer le rôle de produit scalaire et doter R (le R-ev) d'une structure d'algèbre comme si les deux étaient confondu ?

[invitec053041c]

Oui enfin bon, comme il n'y a qu'un seul élément, cela n'apportera pas de confusion quant à l'expression des coordonnées dans cette base .

[Mahow]

(ui Etile, et mieux encore : la multiplication externe fourni : produit scalaire ET multiplication interne, magique )

[Mahow]

Ledescat : core mieux, j'adore le dual aussi
Suffit de voir les matrices des applications linéaires


Etile ==> comme je le dis : tu es pas au bout des propriétés de confusion
(produit matriciel commun aussi lol ) enfin bon, ça dépend ce que tu as vu après ...

(et meme le produit tensoriel : c'est un espace magique )

[invitec053041c]

Ledescat : core mieux, j'adore le dual aussi
Suffit de voir les matrices des applications linéaires

Ne me parle pas de dual à cette heure-ci, il y a déjà assez d'étoiles dans le ciel cette nuit...

[Mahow]

Alors : Dual Topologique, Dual d'un Graph, Dual d'un Sous ev, Dual de pistolet , ... (j'en oublie plein)


Ah Fallait PAS en parler, ah jcroyais que si !

Et puis c'est beau les étoiles ! Na !