Comment peut-on résoudre ce problème d'équations ?

[invitec573fa06]

Bonjour,

Quelle est la solution la plus simple pour résoudre ce problème avec trois équations et trois inconnus ? :
a₁ = x * b₁ + y * b₁ⁿ
a₂ = x * b₂ + y * b₂ⁿ
a₃ = x * b₃ + y * b₃ⁿ

a₁ ;a₂ ;a₃ ; b₁ ; b₂ ; b₃ sont connus.

il faut trouver x ; y et l'exposant n

merci pour vos suggestions
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[invite4793db90]

Salut,

compte-tenu de la forme du problème, j'ai pensé à une approche géométrique.

En effet, si on pose - uniquement pour la lisibilité - et , la question revient à déterminer les paramètres , et de la courbe d'équation



sachant qu'elle passe par les points .

En factorisant, et en posant (je suppose que les sont non-nuls, ce qui est légitime car sinon au moins une des équations ne sert à rien), on aboutit à la courbe d'équation



passant par les points .

Compte tenu du fait que



on aboutit à trois équations qui ont le mérite de ne concerner qu'une seule variable (à savoir ) du type



En développant ces équations, on doit pouvoir déterminer n (je ne l'ai pas fait). Ensuite, il suffit de remonter pour calculer et .

Mais je ne sais pas si je réponds à ta question : est-il obligatoirement un entier ? Cherches-tu une approximation numérique ? Une approximation statistique ?

Cordialement.

[invitec573fa06]

Bonjour et merci pour le temps passé.

je pense que 1 <ou= n <ou= 2

a dépend de b

on fait des mesures avec 3 mesures différentes de b (b₁, b₂, b₃) pour connaître les a correspondants (a₁, a₂, a₃)

et en principe, la résolution des 3 équations pour trouver les 3 inconnus permet de compléter et d'extrapoler les valeurs de a fonction de b qu'on peut évidemment représenter par une courbe sur un graphique.

je ne sais pas comment sortir n (je ne suis pas trop matheux) et l'exposant fait à ceux à qui j'ai posé la "colle"

à plus

[invitea3eb043e]

Cette manière de déduire 3 paramètres à partir de 3 mesures est dangereuse car elle peut être très sensible aux erreurs sur a et b.
Déjà il faut que les b soient positifs, sinon tout ça ne tient pas la route quand n n'est pas entier.
La méthode suggérée par martini_bird revient à calculer x et y à partir des 2 premières équations (n est dans la réponse) et ensuite à reporter ces valeurs dans la troisième et vérifier que c'est compatible. Ca donne l'équation de martini_bird qui doit permettre de calculer n.
Tu obtiens une fonction de n avec des a et des b dedans.
En traçant cette fonction avec Excel et en variant n tu dois en déduire n quand c'est nul. Pour la précision, c'est une autre histoire...

[A voir en vidéo sur Futura]