Dénombrement approché des nombres premiers ou composés

[invite3443c7ee]

Bonjour,

Je voulais savoir si selon vous le raisonnement suivant est correct...
Je cherche à déduire une approximation du nombre de nombres qui sont le produits de deux nombres premiers (NP dans la suite ) entre 0 et n.

On sait qu'il y a approximativement (ln n) NP entre 0 et n.
Soit p et q NP et inférieurs à racine(n).
p*q est toujours < n
On peut dire qu'on a (ln racine(n)) NP inférieurs à racine(n).
Soit f_1(n) = (ln n)/2.
Donc, il existe f(n)^2 nombres de la forme p*q, avec p et q définis comme avant.

Maintenant, si p < n^(1/4) et n^(1/2) < q < n^(3/4).
le nombre de NP de type p est f_2(n) = (ln n)/4 et celui de type q est aussi f_2(n). Donc le nombre de produits de type p*q est f_2(n)^2 et ces produits sont tous inférieurs à n.

On généralise : si p < n^(1/2^k) et et n^(1/2^(k-1)) < q < n^((2^k-1)/2^k) alors :
Le nombre de produits de type p*q est f_k(n)^2 et encore une fois les produits sont inférieurs à n.

Ensuite on considère la somme :
S(n) = f_1(n)^2 + f_2(n)^2 + ... + f_k(n)^2 avec k jusqu'à l'infini.

Peut-on dire que cette somme approche le nombre de nombres qui sont les produits de deux nombres premiers, selon vous ?
Peut être connaissez vous des travaux existants autour de ce problème...

Merci d'avance pour vos réponses...
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[invite4ef352d8]

Bonsoir !


je suis pas encore rentré a fond dans ce que tu ecrit, mais dans tous les cas, si tu veux obtenir un résultat 'rigoureux' ta démarche ne pourra aboutir :

quand tu dit "il y a approximativement ln(n) nombres premier entre 0 et n"


1) c'est faux , d'apres le th des nombres premier c'est (n/ln n) ...

2) ca n'as pas de sens rigoureux. le théorème des nombres premier est quelque chose de precis, qui dit que si on note Pi(n) le nombre de premier inférieur a n, alors Pi(n)/n *ln(n) tend vers 1 quand n tend vers l'infinit (... ou bien des formes plus précise qui donne es majoration de Pi(n)-Li(n).... )


si tu veux obtenir un résultat aussi rigoureux (ie qui a un sens mathématique) la démarche a employé est plutot la suivante : déja donne un nom au nombres de nombres produit de deux nombres premier inférieur a n, disont h(n). puis cherche une relation exacte (ou une inégalité) entre h et Pi (... en utilisant le meme genre de relation que ce que tu as fait dans ton post...) puis un encadrement de h qui dépend de Pi, et enfin on pourra regarder si on peut "remplacer" Pi(n) par n/ln n assymptotiquement... (a ce niveaux, ca sera plus qu'un exerci d'analyse classique, totalement détaché du probleme d'arithmétique de depart....)


PS : en revanche, si tu cherche juste une estimation à la louche "pour voir" je te recommande plutot de garder ce que tu as obtenu (en remplacant ln n par n/ln n ou Li(n) quand meme...) et de "tester" numériquement si oui ou non ca marche avec un logiciel de calcule ^^

[invite4ef352d8]

en revanche, j'ai pensé a un autre approche, moins 'trivial' (ie utilisant de l'analyse complexe), mais qui doit permetre d'obtenir l'équivalent plus rapidement :


si on note f(s) = somme des 1/k^s pour k de la forme p*q avec p et q premier, f est holomorphe sur l'ensemble des s telle que Re(s)>1.

j'arrive à prouver qu'elle ce prolonge en une fonction holomorphe sur l'ensemble de s telle que Re(s)=1, sauf en s=1 et au voisinage de 1 on a :

f(1+s) = ln(s)²/2 + k*ln(s) + u+o(1)

ou k et u sont des constante qu'on peut expliciter sous forme de serie (et le o(1) n'est malheuresement pas holomorphe, il contiens des terme en s*ln s...)

Je crois savoir qu'a partir de la il existe des théorème taubérien qui permette d'en déduir l'équivalent que tu cherche, mais malheuresement je ne les connait pas !... peut-etre que qqn pourra m'aider...