DM : Arg (z^2-1) = alpha

[invite75702840]

On a un DM à faire et il s'agit de trouver z pour Arg (z^2-1) = alpha.
Je crois que cet exercice est assez classique.

Convention d'écriture : a = alpha

On commence à poser Z=z^2=X+iY.
Ce qui nous donne Y=Xtan(a)-tan(a) avec Y>0,
puis on pose z=x+iy.
Ce qui nous donne 2xy=tan(a)(x^2-y^2)-tan(a) avec 2xy>0.
On obtient finalement une équation d'un conique :
tan(a)x^2-tan(a)y^2-2xy-tan(a)=0.

Le problème c'est que l'on n'a pas encore vu le chapitre sur les coniques, j'ai essayé de commprendre grace à mon livre de maths mais c'est toujours obscure.

Si quelqu'un pourrait m'aider cela serait sympathique.

Indications supplémentaires :
- un seul dans la classe à trouver la solution (en 3 jours et il est super balèze) et il affirme que le résultat est "une intersection de coniques et de quarts de plans", il nous conseille de "1)Trouver Z² appartient à la demi droite y=tanax-tana et donc une équation F(x,y)=0 ; 2) Aller voir le chapitre 7 pour savoir ce que signifie et comment tracer F(x,y)=0".
- le prof dit que la démonstration tient sur dix lignes.
- si cela peut aider : arg(z^2-1)=arg(z+1)+arg(z-1)
et arg(z+1)=a <=> Im(z+1)exp(ia)=0
mais je ne vois pas où cela peut mener.

En espérant vous avoir donné le plus de détails possibles.
Merci.

Ps : il peut y avoir des fautes.
-----

[invite206bb45f]

Une facon est de remarquer que z/(z barre) est exp(2i arg(z)) pour tout z.
En appliquant ca a z^2-1 et en posant y = z exp(-ia/2) on arrive assez vite a une expression assez simple pour y (et donc z) par des manipulations algebriques (il y a bien sur toute une famille de solutions).

[invite206bb45f]

Pour verifier que tu as la bonne solution si tu trouves quelque chose (et si je ne me suis pas trompe), l'ensemble des solutions forme une hyperbole dont les axes font un angle a/2 avec le repere classique.

[invite75702840]

Je suis d'accord avec la remarque mais après en appliquant la remarque à z^2-1, je ne vois pas comment faire ressortir y = z exp(-ia/2).

Faut-il utiliser la formule exp(ia)-1=exp(ia/2)-2isin(a/2)?
Faut-il passer dans un repère polaire?

Pour ta solution, je pense que c'est la bonne car cette formidable question est venue au prof au moment où il nous présentait un lemniscate.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite206bb45f]

Je suis d'accord avec la remarque mais après en appliquant la remarque à z^2-1, je ne vois pas comment faire ressortir y = z exp(-ia/2).

Faut-il utiliser la formule exp(ia)-1=exp(ia/2)-2isin(a/2)?
Faut-il passer dans un repère polaire?

Pour ta solution, je pense que c'est la bonne car cette formidable question est venue au prof au moment où il nous présentait un lemniscate.

remplace z par exp(ia/2)y, puis avec une petite identite remarquable et le fait exp(2x) = exp(x)^2 on arrive a une condition simple sur y. Il y a quelques manip a faire, je ne t'en dis pas plus. Note qu'a partir de ta solution tu dois aussi pouvoir trouver le resultat en faisant un changement de repere (rotation d'angle a/2).

[invite980a875f]

Salut,
juste pour savoir, c'est en quelle classe qu'on voit ça? En maths sup? J'espère parce que nous sur les compexes on n'a pas vu de trucs aussi compliqués, et déjà j'avais l'impression que c'était très dur!

[invite75702840]

oui c'est en maths sup