Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 7 sur 7

DM : Arg (z^2-1) = alpha



  1. #1
    Osinuka

    Question DM : Arg (z^2-1) = alpha


    ------

    On a un DM à faire et il s'agit de trouver z pour Arg (z^2-1) = alpha.
    Je crois que cet exercice est assez classique.

    Convention d'écriture : a = alpha

    On commence à poser Z=z^2=X+iY.
    Ce qui nous donne Y=Xtan(a)-tan(a) avec Y>0,
    puis on pose z=x+iy.
    Ce qui nous donne 2xy=tan(a)(x^2-y^2)-tan(a) avec 2xy>0.
    On obtient finalement une équation d'un conique :
    tan(a)x^2-tan(a)y^2-2xy-tan(a)=0.

    Le problème c'est que l'on n'a pas encore vu le chapitre sur les coniques, j'ai essayé de commprendre grace à mon livre de maths mais c'est toujours obscure.

    Si quelqu'un pourrait m'aider cela serait sympathique.

    Indications supplémentaires :
    - un seul dans la classe à trouver la solution (en 3 jours et il est super balèze) et il affirme que le résultat est "une intersection de coniques et de quarts de plans", il nous conseille de "1)Trouver Z² appartient à la demi droite y=tanax-tana et donc une équation F(x,y)=0 ; 2) Aller voir le chapitre 7 pour savoir ce que signifie et comment tracer F(x,y)=0".
    - le prof dit que la démonstration tient sur dix lignes.
    - si cela peut aider : arg(z^2-1)=arg(z+1)+arg(z-1)
    et arg(z+1)=a <=> Im(z+1)exp(ia)=0
    mais je ne vois pas où cela peut mener.

    En espérant vous avoir donné le plus de détails possibles.
    Merci.

    Ps : il peut y avoir des fautes.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    vuibert

    Re : DM : Arg (z^2-1) = alpha

    Une facon est de remarquer que z/(z barre) est exp(2i arg(z)) pour tout z.
    En appliquant ca a z^2-1 et en posant y = z exp(-ia/2) on arrive assez vite a une expression assez simple pour y (et donc z) par des manipulations algebriques (il y a bien sur toute une famille de solutions).

  4. #3
    vuibert

    Re : DM : Arg (z^2-1) = alpha

    Pour verifier que tu as la bonne solution si tu trouves quelque chose (et si je ne me suis pas trompe), l'ensemble des solutions forme une hyperbole dont les axes font un angle a/2 avec le repere classique.

  5. #4
    Osinuka

    Re : DM : Arg (z^2-1) = alpha

    Je suis d'accord avec la remarque mais après en appliquant la remarque à z^2-1, je ne vois pas comment faire ressortir y = z exp(-ia/2).

    Faut-il utiliser la formule exp(ia)-1=exp(ia/2)-2isin(a/2)?
    Faut-il passer dans un repère polaire?

    Pour ta solution, je pense que c'est la bonne car cette formidable question est venue au prof au moment où il nous présentait un lemniscate.

  6. #5
    vuibert

    Re : DM : Arg (z^2-1) = alpha

    Citation Envoyé par Osinuka
    Je suis d'accord avec la remarque mais après en appliquant la remarque à z^2-1, je ne vois pas comment faire ressortir y = z exp(-ia/2).

    Faut-il utiliser la formule exp(ia)-1=exp(ia/2)-2isin(a/2)?
    Faut-il passer dans un repère polaire?

    Pour ta solution, je pense que c'est la bonne car cette formidable question est venue au prof au moment où il nous présentait un lemniscate.
    remplace z par exp(ia/2)y, puis avec une petite identite remarquable et le fait exp(2x) = exp(x)^2 on arrive a une condition simple sur y. Il y a quelques manip a faire, je ne t'en dis pas plus. Note qu'a partir de ta solution tu dois aussi pouvoir trouver le resultat en faisant un changement de repere (rotation d'angle a/2).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Sharp

    Re : DM : Arg (z^2-1) = alpha

    Salut,
    juste pour savoir, c'est en quelle classe qu'on voit ça? En maths sup? J'espère parce que nous sur les compexes on n'a pas vu de trucs aussi compliqués, et déjà j'avais l'impression que c'était très dur!

  9. Publicité
  10. #7
    Osinuka

    Re : DM : Arg (z^2-1) = alpha

    oui c'est en maths sup

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. [Biologie Moléculaire] Kératine alpha
    Par mikana dans le forum Biologie
    Réponses: 2
    Dernier message: 08/11/2007, 20h24
  2. arg !!infecté....
    Par gtd dans le forum Sécurité et malwares : désinfectez votre machine
    Réponses: 6
    Dernier message: 16/09/2007, 08h16
  3. h-alpha et h-alpha
    Par RT3669 dans le forum Matériel astronomique et photos d'amateurs
    Réponses: 3
    Dernier message: 23/01/2007, 21h34
  4. TV Grandin 70 SBI 003 ARG
    Par candi dans le forum Dépannage
    Réponses: 2
    Dernier message: 03/12/2006, 18h24
  5. tv grandin 70 sbi 003 arg
    Par rachon dans le forum Dépannage
    Réponses: 1
    Dernier message: 18/08/2006, 11h15