definition de loi

[invite5b777dc4]

Bonjour,

en relisant mon cours d'algèbre linéaire, je me posais une question sur les espaces de fonctions :


si I est un ensemble non vide et K un corps, est-ce que l'ensemble des fonctions de I dans K est toujours un espace vectoriel?
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[FonKy-]

Je répond pas Gwyddon va me griller
mais en fait je pense quil faut démontrer qu'il s'agit d'un SEV. Donc faudrait vérifier la stabilité? chui pas trop sur lol ><

[invite5b777dc4]

si l'addition et la multiplication sont les lois usuelles c'est évident,

mais ces deux lois sont-elles toujours définissables pour n'importe enseble de toutes les fonctions de I dans K?

[Médiat]

En écrivant la définition de la somme de 2 telles fonctions et du produit d'une telle fonction par un scalaire (ici un élément de K), ce ne devrait pas poser de problèmes... mais demande un peu de rigueur : je conseille de commencer par écrire la définition d'une fonction de I dans K.

[A voir en vidéo sur Futura]

[FonKy-]

En écrivant la définition de la somme de 2 telles fonctions et du produit d'une telle fonction par un scalaire (ici un élément de K), ce ne devrait pas poser de problèmes... mais demande un peu de rigueur : je conseille de commencer par écrire la définition d'une fonction de I dans K.

oui mais comment faire quand on ne connait rien de I ?

[Médiat]

oui mais comment faire quand on ne connait rien de I ?

Aucune importance, ce qui compte c'est K ; écrit les définitions, tu verras : pas de problème (il ne faut jamais avoir peur d'écrire )

[invitec053041c]

oui mais comment faire quand on ne connait rien de I ?

Ce qui est important c'est qu'à l'arrivée (dans le corps), on soit capable d'ajouter, de multiplier par des scalaires, les images de n'importe quels éléments de I.
Il n'y a pas de condition sur I dans les vérifications à faire.
Mais laissons faire l'intéréssé du fil .


EDIT: grillé par Médiat .

[FonKy-]

Arf oui, je me suis pas apercu que c'était que l'espace d'arrrivée qui importait. Mais ca parait étrange, merci pour les infos
Mais donc cet espace est un SEV car K est un Espace vectioriel c ca ?

FonKy-

[Médiat]

Mais donc cet espace est un SEV car K est un Espace vectioriel c ca ?

Non, c'est un espace vectoriel car K est un corps.

Question subsidiaire : quelles sont les conditions nécessaires et suffisante pour que cela marche ?

[invitec053041c]

Arf oui, je me suis pas apercu que c'était que l'espace d'arrrivée qui importait. Mais ca parait étrange, merci pour les infos
Mais donc cet espace est un SEV car K est un Espace vectioriel c ca ?

FonKy-

On utilise surtout le fait que c'est un corps pour montrer que .

[FonKy-]

Ok donc il faut que je me fasse une piquure de rappel sur les corps et tout le tralala

FonKy-

[invite5b777dc4]

Ce qui est important c'est qu'à l'arrivée (dans le corps), on soit capable d'ajouter, de multiplier par des scalaires, les images de n'importe quels éléments de I.
Il n'y a pas de condition sur I dans les vérifications à faire.
Mais laissons faire l'intéréssé du fil .


EDIT: grillé par Médiat .

Donc si je comprends bien lorsqu'on considère une fonction f : I-->K ,+, . de l'ensemble des fonctions de I dans le corps K,+, . par exemple, les images de n'importe quels éléments de I sont des éléments de K par def de f, donc on peut d'office les multiplier entr'eux (par un scalaire ) et les additionner car K est un corps, il n'y a pas de conditions sur I à part qu'il soit non vide, je ne vois pas quelles sont les conditions suffisantes et nécessaires dans ce cas pour que cet ensemble de fonctions soit un esp vect, c'est vraiment la donnée des deux lois , interne, pour que l'ensemble soit un groupe commutatif et externe, qui joue.

Serait-il possible de définir un espace vect de fonctions tel que ces deux lois ne soient pas les lois (f+g) (x) = f(x) +g(x) et (µ.f)(x) = µ. f(x) et si possible m'en donner un exemple...

merci beaucoup