Des corps encors plus grands

[invitea48de646]

Bonjour,

Voici une question que je me suis posé il y a un certain temps

Existent-ils-des corps de cardinal strictement plus grand que celui de R (par exemple de même cardinal que P(R)=ensemble des parties de R)?
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[invite9cf21bce]

Bonjour,

Voici une question que je me suis posé il y a un certain temps

Existent-ils-des corps de cardinal strictement plus grand que celui de R (par exemple de même cardinal que P(R)=ensemble des parties de R)?

Salut.

Considère Q[(X_i)_i], anneau des polynômes à coefficients rationnels sur la famille (X_i) d'indéterminées. Son corps des fractions est un corps.

Si tu choisis pour (X_i) une famille de meme cardinal que P(R), c'est gagné.

Taar.

[Médiat]

Existent-ils-des corps de cardinal strictement plus grand que celui de R (par exemple de même cardinal que P(R)=ensemble des parties de R)?

Le théorème Löwenheim-Skolem affirme que si une théorie du permier ordre (c'est le cas de la théorie des corps) admet un modèle en un cardinal infini, elle en admet en tous cardinaux infinis.

[invite9c9b9968]

Il est superbe ce théorème

J'avais pensé aussi à un corps de fraction pour la construction ici. La question que je me pose c'est pourquoi ne pas prendre aussi *? Ça marche non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Il est superbe ce théorème

Et je n'en ai donné qu'une version faible (si une théorie admet des modèles finis arbitrairement grand, elle admet des modèles en tous cardinaux infinis) et fausse () la bonne formulation aurait dû être :
si une théorie du permier ordre (c'est le cas de la théorie des corps) admet un modèle en un cardinal infini , elle en admet en tous cardinaux infinis > (s'il y a symboles de constantes, difficile de trouver un modèle plus petit ; la limite inférieure est d'ailleurs donnée par le cardinal du langage).

Et en plus il est très facile à démontrer (avec le théorème de compacité).

[invite9c9b9968]

Quand je serais plus d'attaque (là je vais me prendre 14 heures d'avion dans les dents +9h de décalage... ) je vais y jeter un oeil.

En attendant, encore un théorème qui pour moi a la même beauté que celui de Cantor.

[Médiat]

Quand je serais plus d'attaque (là je vais me prendre 14 heures d'avion dans les dents +9h de décalage... ) je vais y jeter un oeil.

Bon vol...

En attendant, encore un théorème qui pour moi a la même beauté que celui de Cantor.

C'est un très beau (et très élégant) théorème, mais dans mon panthéon personnel je mets le théorème de compacité avant celui de Löwenheim Skolem (en lisant la démonstration de celui-ci, qui tient en une ligne (bon allez, deux ou trois), on voit bien que le théorème fondamental, c'est le théorème de compacité.

[invitea48de646]

Bonjour et merci a tous

Salut.

Considère Q[(X_i)_i], anneau des polynômes à coefficients rationnels sur la famille (X_i) d'indéterminées. Son corps des fractions est un corps.

Si tu choisis pour (X_i) une famille de meme cardinal que P(R), c'est gagné.

Taar.

est -ce que l'intégrité de l'anneau Q[(X_i)_i] se vérifie facilement?

[invite4ef352d8]

Bonjour !


sinon, l'ensemble des fonction méromorphe sur un compact connexe, c'est un corps, c'est du cardinal de R ou de P(R) ?

[invite35452583]

Bonjour !


sinon, l'ensemble des fonction méromorphe sur un compact connexe, c'est un corps, c'est du cardinal de R ou de P(R) ?

Ces sont entièrement définies par leur restriction à un sous-espace dense dénombrable donc de cardinal égal à .

[invite9cf21bce]

J'avais pensé aussi à un corps de fraction pour la construction ici. La question que je me pose c'est pourquoi ne pas prendre aussi *? Ça marche non ?

Prendre est sympa ici, car ça permet de régler avec un seul théorème le cas de tout cardinal supérieur ou égal au dénombrable.

Soit un ensemble de cardinal au moins dénombrable, et soit une famille d'indéterminées.

Admets le théorème suivant ("presque partout nulle" = nulle partout sauf éventuellement sur une partie finie) :

Soit un ensemble de cardinal au moins dénombrable. Alors l'ensemble des applications presque partout nulles a même cardinal que .

Alors il vient :

• par application du théorème, que l'ensemble des monômes (de coeff 1) en les est de même cardinal que ;
• puis, par une nouvelle application du même théorème, que l'ensemble a même cardinal que .

Ceci dit, ça doit aussi marcher avec dès que le cardinal de est au moins continu...

Rem : le théorème doit pouvoir se démontrer facilement à coup de réunions dénombrables.

est -ce que l'intégrité de l'anneau Q[(X_i)_i] se vérifie facilement?

Oui. Un polynôme donné n'emploie qu'un nombre fini d'indéterminées ; donc, tu peux considérer que le calcul du produit se fait dans , où est une partie finie bien choisie de (ce dernier anneau est intègre et s'injecte dans ).

Taar