Bonjour,
Je me demandais, comme ça, comment déterminer les générateurs de Z/pZ* (p premier) ? Je sais que si on en connais un (w par exemple) alors on les trouve tous : en effet, par l'isomorphisme canonique, les générateurs seront les w^q avec q et (p-1) premiers entre eux. Y-a t'il un moyen de trouver ce w sans "essayer à la main" ?
Merci d'avance.
Bonjour.
Que signifie * ?
Car en tout cas, tous les générateurs de Z/nZ sont tous les entiers inférieurs à n qui sont premiers avec n.
Donc pour Z/pZ, tous les entiers inférieurs à p sont générateurs.
(cf Bézout)
(Z/pZ)*=(Z/pZ)\{0}
Salut, 4 n'est pas générateur de Z/5Z, en effet le sous-groupe engendré par 4 est {1,4}. En revanche ils vérifient tous le petit théorème de Fermat, c'est peut-être ça qui t'a induit en erreur.
Ledescate pensait aux groupe additif je pense ^^
je crois bien que c'est un probleme assez compliqué, liée a des probleme de cryptographie (logaritme discret) et qu'il n'existe pas d'algoritme performant pour trouver ces génerateurs...
Ben oui je parle du groupe additif.A moins qu'on ne précise le contraire dans l'énoncé, je considère toujours Z/nZ comme groupe additif.
En fait on considère toujours (Z/pZ)* comme un groupe multiplicatif. (tout simplement parce que Z/pZ* muni de l'addition n'est pas un groupe)A moins qu'on ne précise le contraire dans l'énoncé, je considère toujours Z/nZ comme groupe additif.
C'est simplement que tu n'as pas pris l'étoile en compte.
D'accord, merci Ganash pour la précisionEnvoyé par Ganash
. (c'était en effet l'* qui m'intriguait)
Merci de vous impliquer dans ma dicussion !
C'est vrai qu'on s'embrouille vite avec ces notations
N'y a t-il vraiment pas de méthode "simple" pour trouver un générateur, comme le dit Ksilver ? Je crois savoir que l'on peut faire des choses avec les résidus quadratiques ; quelqu'un connait ce genre de choses ?
les résidu quadratique, c'est le fait de savoir si a est un caré ou non dans Z/pZ.
pour cela il y des résultat importants (fais une recherche sur symbole de Jacobie, symbole de Legendre et Loi de réciptocité quadratique si ca t'interesse)
connaitre un génerateur a de (Z/pZ)* permet de déterminer tres simplement la liste des elements qui sont des caré dans Z/pZ : ce sont les puissance pair de a.
mais à ma connaissance la réciproque ne donne rien... (enfin il existe peut-etre des algoritme probabiliste utilisant cela, étant donné qu'un génerateur n'est jammais un rédisu quadratique, mais aucun algoritme déterministe.)
Ok, merci. Je vais regarder
