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Générateurs de Z/pZ*



  1. #1
    Coco Beach

    Générateurs de Z/pZ*


    ------

    Bonjour,

    Je me demandais, comme ça, comment déterminer les générateurs de Z/pZ* (p premier) ? Je sais que si on en connais un (w par exemple) alors on les trouve tous : en effet, par l'isomorphisme canonique, les générateurs seront les w^q avec q et (p-1) premiers entre eux. Y-a t'il un moyen de trouver ce w sans "essayer à la main" ?

    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    Bonjour.

    Que signifie * ?

    Car en tout cas, tous les générateurs de Z/nZ sont tous les entiers inférieurs à n qui sont premiers avec n.
    Donc pour Z/pZ, tous les entiers inférieurs à p sont générateurs.

    (cf Bézout)
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    invite43219988

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    (Z/pZ)*=(Z/pZ)\{0}

  5. #4
    Flanders

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    Salut, 4 n'est pas générateur de Z/5Z, en effet le sous-groupe engendré par 4 est {1,4}. En revanche ils vérifient tous le petit théorème de Fermat, c'est peut-être ça qui t'a induit en erreur.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ksilver

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    Ledescate pensait aux groupe additif je pense ^^



    je crois bien que c'est un probleme assez compliqué, liée a des probleme de cryptographie (logaritme discret) et qu'il n'existe pas d'algoritme performant pour trouver ces génerateurs...

  8. #6
    Ledescat

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    Ben oui je parle du groupe additif.A moins qu'on ne précise le contraire dans l'énoncé, je considère toujours Z/nZ comme groupe additif.
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    invite43219988

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    A moins qu'on ne précise le contraire dans l'énoncé, je considère toujours Z/nZ comme groupe additif.
    En fait on considère toujours (Z/pZ)* comme un groupe multiplicatif. (tout simplement parce que Z/pZ* muni de l'addition n'est pas un groupe)

    C'est simplement que tu n'as pas pris l'étoile en compte.

  11. #8
    Ledescat

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    En fait on considère toujours (Z/pZ)* comme un groupe multiplicatif. (tout simplement parce que Z/pZ* muni de l'addition n'est pas un groupe)

    C'est simplement que tu n'as pas pris l'étoile en compte.
    D'accord, merci Ganash pour la précision . (c'était en effet l'* qui m'intriguait)
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    Coco Beach

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    Merci de vous impliquer dans ma dicussion !
    C'est vrai qu'on s'embrouille vite avec ces notations : je parle bien ici du groupe multiplicatif : Z/pZ privé de 0.
    N'y a t-il vraiment pas de méthode "simple" pour trouver un générateur, comme le dit Ksilver ? Je crois savoir que l'on peut faire des choses avec les résidus quadratiques ; quelqu'un connait ce genre de choses ?

  13. #10
    Ksilver

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    les résidu quadratique, c'est le fait de savoir si a est un caré ou non dans Z/pZ.

    pour cela il y des résultat importants (fais une recherche sur symbole de Jacobie, symbole de Legendre et Loi de réciptocité quadratique si ca t'interesse)

    connaitre un génerateur a de (Z/pZ)* permet de déterminer tres simplement la liste des elements qui sont des caré dans Z/pZ : ce sont les puissance pair de a.

    mais à ma connaissance la réciproque ne donne rien... (enfin il existe peut-etre des algoritme probabiliste utilisant cela, étant donné qu'un génerateur n'est jammais un rédisu quadratique, mais aucun algoritme déterministe.)

  14. #11
    Coco Beach

    Re : Générateurs de Z/pZ*

    Ok, merci. Je vais regarder

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