parité en maths spé...

[invitef9d8bf6b]

Je voudrais savoir si vous pouviez m'aider sur cet exercice... je voudrais être sûre de ce que j'ai déjà trouvé... en maths spe, pour l'onstant on a fait la division euclidinne, multiples et diviseurs et les congruences... merci beaucoup

n et p sont deux entiers naturels superieurs ou egaux à 1.
1) Montrer que n(n^4-1) est un multiple de 5
2) En déduire que n^(p+4) -n^p est un multiple de 5.
3) Montrer que n^p et n ont même parité. En déduire que n^(p+4)-n^p est pair.
4) Montrer alors que n^p+4 et n^p ont le même chiffre des unités.

Merci encore
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[shokin]

1) Montrer que n(n^4-1) est un multiple de 5

Revient à montrer que f(n)=n(n^4-1) C (est congruent à) 0 mod 5.

n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=n(n^2+1)(n+1)(n-1)

Si n C 0 mod 5 ou n C 1 mod 5 ou n C 4 mod 5, f(n) C 0 mod 5.

Reste à voir si n C 2 mod 5 ou si n C 3 mod 5.

Autrement dit : si n C +-2 mod 5.

Je pose alors : n C +-2 mod 5

n^2 C 4 mod 5

n^2+1 C 5 mod 5

Tous les cas (les 5 classes) sont déterminés et prouvés.

n(n^4-1) est un multiple de 5

CQFD.

2) En déduire que n^(p+4)-n^p est un multiple de 5.

n^(p+4)-n^p
= n^p*n^4-n^p
= (n^p)(n^4-1)
=n(n^4-1)*n^(p-1)

Comme le terme de gauche est multiple de 5 et comme celui de droite est entier, leur produit est multiple de 5.

n^(p+4) -n^p est un multiple de 5

CQFD.

3) Montrer que n^p et n ont même parité. En déduire que n^(p+4)-n^p est pair.

Si n est impair càd si n C 1 mod 2,

n*n C 1*1 mod 2.

Donc n^p C 1 mod 2

De même : si n C 0 mod 2, n^p C 0 mod 2 avec p entier positif.

De manière plus générale : si a C b mod c a^m C b^m mod c avec m entier positif.

CQFD

4) Montrer alors que n^p+4 et n^p ont le même chiffre des unités (en base 10).

A ] n^(p+4)-n^p est un multiple de 5

B ] n^(p+4)-n^p est un multiple de 2 car n^(p+4) et n^p ont même parité.

En effet : n^(p+4) C n C n^p mod 2 donc par transitivité :

n^(p+4) C n^p (en plus général : n^a C n^b mod 2 pour tout n entier, a, b entiers positifs)

A et B donne n^(p+4)-n^p est un multiple de 10.

En effet :

(a C b mod c) et (a C b mod d) => (a C b mod e) pour tout e, multiple du ppmc entre c et d.

CQFD

Shokin

[invite206bb45f]

1) petit theoreme de fermat
2) 3) facile
4) la difference des deux nombres est congrue a 0 modulo 2 et modulo 5, donc aussi modulo 10 par les restes chinois.

[invite3f53d719]

PS inutile mais bon, c'est spé maths, pas maths spé (qui fait référence à la 2ème année de prépa)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

PS inutile mais bon, c'est spé maths, pas maths spé (qui fait référence à la 2ème année de prépa)

Je me disais bien aussi "mais de quelle prépa peut-il bien s'agir ?"

[invitef9d8bf6b]

merci bcp pour les réponses. et pr les remarques aussi!