parité en maths spé...
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parité en maths spé...



  1. #1
    invitef9d8bf6b

    Lightbulb parité en maths spé...


    ------

    Je voudrais savoir si vous pouviez m'aider sur cet exercice... je voudrais être sûre de ce que j'ai déjà trouvé... en maths spe, pour l'onstant on a fait la division euclidinne, multiples et diviseurs et les congruences... merci beaucoup

    n et p sont deux entiers naturels superieurs ou egaux à 1.
    1) Montrer que n(n^4-1) est un multiple de 5
    2) En déduire que n^(p+4) -n^p est un multiple de 5.
    3) Montrer que n^p et n ont même parité. En déduire que n^(p+4)-n^p est pair.
    4) Montrer alors que n^p+4 et n^p ont le même chiffre des unités.

    Merci encore

    -----

  2. #2
    shokin

    Re : parité en maths spé...

    1) Montrer que n(n^4-1) est un multiple de 5

    Revient à montrer que f(n)=n(n^4-1) C (est congruent à) 0 mod 5.

    n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=n(n^2+1)(n+1)(n-1)

    Si n C 0 mod 5 ou n C 1 mod 5 ou n C 4 mod 5, f(n) C 0 mod 5.

    Reste à voir si n C 2 mod 5 ou si n C 3 mod 5.

    Autrement dit : si n C +-2 mod 5.

    Je pose alors : n C +-2 mod 5

    n^2 C 4 mod 5

    n^2+1 C 5 mod 5

    Tous les cas (les 5 classes) sont déterminés et prouvés.

    n(n^4-1) est un multiple de 5

    CQFD.

    2) En déduire que n^(p+4)-n^p est un multiple de 5.

    n^(p+4)-n^p
    = n^p*n^4-n^p
    = (n^p)(n^4-1)
    =n(n^4-1)*n^(p-1)

    Comme le terme de gauche est multiple de 5 et comme celui de droite est entier, leur produit est multiple de 5.

    n^(p+4) -n^p est un multiple de 5

    CQFD.

    3) Montrer que n^p et n ont même parité. En déduire que n^(p+4)-n^p est pair.

    Si n est impair càd si n C 1 mod 2,

    n*n C 1*1 mod 2.

    Donc n^p C 1 mod 2

    De même : si n C 0 mod 2, n^p C 0 mod 2 avec p entier positif.

    De manière plus générale : si a C b mod c a^m C b^m mod c avec m entier positif.

    CQFD

    4) Montrer alors que n^p+4 et n^p ont le même chiffre des unités (en base 10).

    A ] n^(p+4)-n^p est un multiple de 5

    B ] n^(p+4)-n^p est un multiple de 2 car n^(p+4) et n^p ont même parité.

    En effet : n^(p+4) C n C n^p mod 2 donc par transitivité :

    n^(p+4) C n^p (en plus général : n^a C n^b mod 2 pour tout n entier, a, b entiers positifs)

    A et B donne n^(p+4)-n^p est un multiple de 10.

    En effet :

    (a C b mod c) et (a C b mod d) => (a C b mod e) pour tout e, multiple du ppmc entre c et d.

    CQFD

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  3. #3
    invite206bb45f

    Re : parité en maths spé...

    1) petit theoreme de fermat
    2) 3) facile
    4) la difference des deux nombres est congrue a 0 modulo 2 et modulo 5, donc aussi modulo 10 par les restes chinois.

  4. #4
    invite3f53d719

    Re : parité en maths spé...

    PS inutile mais bon, c'est spé maths, pas maths spé (qui fait référence à la 2ème année de prépa)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite8ef897e4

    Re : parité en maths spé...

    Citation Envoyé par Eric78
    PS inutile mais bon, c'est spé maths, pas maths spé (qui fait référence à la 2ème année de prépa)

    Je me disais bien aussi "mais de quelle prépa peut-il bien s'agir ?"

  7. #6
    invitef9d8bf6b

    Re : parité en maths spé...

    merci bcp pour les réponses. et pr les remarques aussi!

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