image de f

[invite416d2c43]

bonjour,
on a une application linéaire :
f(x,y,z)=(x+3z, x+y, x-2y)

comment fait-on pour déterminer son image Im(f) ?
merci de vos reponses.
-----

[invited5b2473a]

Regarde son noyau.

[invite416d2c43]

j'ai calculé le noyau.
Mais comment détermine-t-on Im(f) ?

[invite416d2c43]

comment déterminer l'image de f ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2031b66f]

bonsoir,

de par la définition de f, (x+3z, x+y, x-2y)

Im(f)=vect( (1,1,1),(0,1,-2),(3,0,0)). c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de coordonnées (1,1,1), (0,1,-2) et (3,0,0).
tu peux aussi noter
Im(f)={a(1,1,1)+b(0,1,-2)+c(3,0,0), où a,b,c sont dans R}

[invite35452583]

Ou plus rapidement montrer que dim(Im(f))=? , donc Im(f)=?? (il n'y a pas à mettre plus de symbole que de points d'interrogation il faut quand même justifier)

[invite416d2c43]

merci.
Pour g(x,y,z)=(x-y+2z, 2x-z)
on a donc im(g)=vect((1,2),(-1,0),(2,-1))
et dim(im(g))=3 ?

[invite35452583]

merci.
Pour g(x,y,z)=(x-y+2z, 2x-z)
on a donc im(g)=vect((1,2),(-1,0),(2,-1))
et dim(im(g))=3 ?

Non, ça ne te dérange pas d'avoir un sev (im(g)) de dimension 3 dans un ev (R²) de dimension 2 ?!
Ici, rang(g)=dim(ker(g)) n'est pas identique à rang(f)=dim(ker(f)).